门| GATE CS Mock 2018 |设置 2 |第 52 题

该题是一个程序设计题目，需要求解一个动态规划问题。该问题描述如下：

给定一个长度为n的字符串s，你需要将它划分成若干个子串，使得每个子串都是回文串。请计算出最小的划分次数。

例如，对于字符串s="ababbbabbababa"，其可以被划分成"aba""bbb""a""b""b""aba""baba"七个回文串。而"ababbbabbababa"的最小划分次数为3，即"aba""bbb""ababa"。

解题思路

这是一道经典的动态规划问题。我们首先定义状态f[i][j]表示从字符串s[i]到s[j]所需划分的最小次数。则对于每个状态f[i][j]，它可以由f[i][k]+f[k+1][j]递推得到，其中k为[i,j]区间中的任意一个点。

对于每个状态f[i][j]，我们需要考虑两种情况：

1. 如果s[i]到s[j]本身就是一个回文串，则不需要进行划分，f[i][j]=0。
2. 如果s[i]到s[j]不是一个回文串，则它必须被划分，我们可以枚举k，让s[i]到s[k]和s[k+1]到s[j]都成为回文串，此时f[i][j]就可以更新为f[i][k]+f[k+1][j]+1。

显然，由于s[i]到s[j]的长度越来越小，因此在递推的过程中，我们需要保证所有的f[i][k]和f[k+1][j]都已经被计算出来。

代码实现

下面是Python的伪代码实现，由于算法复杂度为O(n^3)，因此对于长度为n的字符串，实际运行时间为O(n^3)。

def minCut(s):
    n = len(s)
    # 初始化状态矩阵
    f = [[0] * n for i in range(n)]
    for i in range(n):
        f[i][i] = 0
    # 递推计算所有状态
    for L in range(2, n+1):
        for i in range(n-L+1):
            j = i+L-1
            if s[i] == s[j] and (j-i<=2 or f[i+1][j-1]==0):
                f[i][j] = 0
            else:
                f[i][j] = n
                for k in range(i, j):
                    f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k+1][j] + 1)
    return f[0][n-1]

其中，f[i][j]表示从字符串s[i]到s[j]所需划分的最小次数，初始化时f[i][i]=0。递推时，我们从字符串长度为2的子串开始，枚举区间长度L，然后枚举i和j，考虑将s[i]到s[j]这个区间划分成若干个回文串的最小次数。

最终，答案就是f[0][n-1]，即整个字符串划分成若干个回文串所需的最小次数。