门 | GATE-IT-2004 | 第72章

简介

GATE-IT-2004是印度研究生入学考试(GATE)的一道计算机科学和信息技术题目, 发布于2004年第一届考试中, 出现在计算机科学和信息技术的第72章. 这道题目需要程序员在规定的时间内完成若干操作, 并输出特定结果.

题目描述

考虑在一组有$n$个自然数 $(a_1, a_2, ..., a_n)$ 中选出相邻两个数(即$a_i$和$a_i+1$), 且删除其中较小的数, 直到剩下的数字都相等为止. 设经过$k$轮操作后所剩下的数字为$c$. 如果初始数字有$m$个不同的数字, 请计算程序的时间复杂度和空间复杂度.

例如: 对于数字序列 $(1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8)$, 经过两轮操作后, 得到 $(3, 8)$.

算法分析

这道题目可以用递归算法或循环算法来解决.

递归算法

递归算法的解题思路如下:

• 如果数字总数为1或0, 停止递归.
• 检查相邻两个数字, 记录较大的数字, 并剩下的数字序列进行递归.
• 将递归得到的序列中的较小数字和前一个记录的较大数字进行比较, 记录较大的数字.

递归算法时间复杂度为$O(nlogn)$, 空间复杂度为$O(n)$.

def recursive_solution(nums):
    if len(nums) <= 1:
        return nums
    prev = nums[0]
    new_nums = []
    for num in nums[1:]:
        if num >= prev:
            new_nums.append(num)
            prev = num
    return recursive_solution(new_nums)+(prev,) if len(new_nums) > 0 else (prev,)

循环算法

循环算法的解题思路如下:

• 重复执行以下步骤, 直到数字序列不再改变.
  • 检查相邻两个数字, 记录较大的数字.
  • 记录删除次数, 并将较小数字从数字序列中移除, 在数字序列中加入前一个记录的较大数字.
  • 如果移除了数字, 记录新数字序列和删除计数器.

循环算法时间复杂度为$O(n^2)$, 空间复杂度为$O(n)$.

def iterative_solution(nums):
    if len(nums) == 1:
        return nums
    curr_nums = nums
    remove_count = 0
    while True:
        prev = curr_nums[0]
        new_nums = [prev]
        for num in curr_nums[1:]:
            if num >= prev:
                new_nums.append(num)
                prev = num
            else:
                remove_count += 1
        if len(new_nums) == len(curr_nums):
            break
        curr_nums = new_nums
    return curr_nums

总结

该题可以通过递归或循环两种算法来解决, 递归算法运行速度更快但需要更多的空间, 循环算法运行速度较慢但空间使用较优. 针对给定的输入数据, 可以选择合适算法来处理, 避免因算法时间和空间复杂度不匹配导致程序性能下降.