门 | GATE-IT-2004 | 第67章

简介

GATE (Graduate Aptitude Test in Engineering) 是一项印度全国性的研究生入学考试。GATE-IT-2004是2004年信息技术领域的GATE考试。第67章指的是GATE-IT-2004的第67个考题。

考题描述

以下是GATE-IT-2004第67题的描述：

Let A[1..n] be an array such that the first n − √n elements are already sorted. Suppose we want to sort the entire array using only swap operations. Which of the following statements is true ?

(A) Both selection sort and bubble sort can be used to sort the array completely in Ω(n^2) time.
(B) Only selection sort can be used to sort the array completely in Ω(n^2) time.
(C) Only bubble sort can be used to sort the array completely in Ω(n^2) time.
(D) Neither bubble sort nor selection sort can be used to sort the array completely in Ω(n^2) time.

解题方法

此题是一道排序算法的题目，而且指定了数组的部分部分有序。

根据选项，我们需要判断哪些排序算法能够在Ω(n^2)时间内将数组完全排序。

选项（A）提到了selection sort和bubble sort，它们都是著名的排序算法。

选项（B）只提到了selection sort。

选项（C）只提到了bubble sort。

选项（D）认为不管使用bubble sort还是selection sort，都无法在Ω(n^2)时间内将数组完全排序。

对于部分有序的数组，插入排序通常是一个很好的选择。但是插入排序在最坏情况下需要O(n^2)的时间，所以它不能满足问题的限制。我们需要寻找其他的算法。

一种选择是归并排序。从部分排序数组的概念中可以看出，我们可以将整个数组分成√n个块，每个块的大小为√n。我们现在需要find merge每个块，以获得完全排序的数组。这需要O(nlog√n)时间，因为有√n个块，每个块的大小为√n。

然而，这个答案不在选项中。我们需要从选择排序和冒泡排序中选择一个能够满足要求的算法。

选择排序的时间复杂度为O(n^2)，但是如果数组已经部分有序，它可能是很快的。当对排序数组的扫描遇到有序的（或者近似有序的）子数组时，选择排序可以快速确定这些子数组的位置，并将它们归位。所以，如果我们使用选择排序来排序部分排序的数组，它最终能达到Ω(n^2)时间，也就是选项（B）的答案。

结论

选项（B）是正确的答案。

代码实现

由于这是一道算法题，代码实现的天平非常重要，这里给出一个Python实现选择排序算法的示例代码：

def selection_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n):
        min_ind = i
        for j in range(i+1, n):
            if arr[j] < arr[min_ind]:
                min_ind = j
        arr[i], arr[min_ind] = arr[min_ind], arr[i]
    return arr

# Example Usage:
arr = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5]
sorted_arr = selection_sort(arr)
print(sorted_arr)

该代码实现选取一个未排序的元素，并将它与剩余元素中的最小值交换。该过程被重复n次。时间复杂度为O(n^2)，最好的情况下为O(n)。