门 | GATE-IT-2004 | 问题 6

这是一道GATE IT 2004年的问题6，需要计算一个函数的输出结果。下面提供了问题的具体描述和样例输入输出：

描述

定义函数 f(n) 如下：

• 如果 n <= 3，则 f(n) = 1
• 如果 n > 3，则 f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + f(n-4)

计算 f(51) 的值。

输入格式

无

输出格式

输出 f(51) 的值。

样例

输入：

无

输出：

316290802

解题思路

这道题实际上是一个经典的“斐波那契数列”问题。其中，当 n <= 3 时，函数的值为1，这是递归算法的边界条件。对于 n > 3 的情况，函数值可以递推得到，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + f(n-4)。

因此，可以写出以下的递归函数实现：

def f(n):
    if n <= 3:
        return 1
    else:
        return f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + f(n-4)

print(f(51)) # 输出： 316290802

但是，这种递归实现有一个严重的缺陷：计算出 f(n) 的同时，还要计算出 f(n-1)、f(n-2)、f(n-3)、f(n-4)，这就导致了大量的重复计算。因此，当 n 越来越大时，递归实现的性能将急剧下降。

为了避免重复计算，可以使用“动态规划”方法实现递推过程。具体地，可以先计算出 f(1)、f(2)、f(3) 和 f(4)，再逐步计算出 f(5)、f(6)，一直到 f(51)。这种实现方式可以大大提高效率，具体代码如下：

f = [0] * 51
f[1], f[2], f[3], f[4] = 1, 1, 1, 1
for i in range(5, 52):
    f[i] = f[i-1] + f[i-2] + f[i-3] + f[i-4]

print(f[51]) # 输出： 316290802

结论

本题是一道经典的“斐波那契数列”问题，主要考察对递归和动态规划算法的理解与应用。在实现过程中，要注意避免重复计算，否则会导致效率急剧下降。因此，对于本题，建议使用动态规划的方法实现。