门 | GATE-CS-2005 | 问题 37

本题考察内容：熟悉离散数学中的逻辑和集合论。

题目描述

有一个实验室，有三个门，每个门有一把锁。每个门的钥匙只有一个人有，用一个名字来表示。下列陈述是真是假：

1. 如果james回家了，那么bush不在家里。
2. 如果bush失踪了，那么门1开。
3. 如果james回家了，那么门2锁住。
4. 如果单身汉回家了，那么bush就在家里。
5. 如果单身汉回家了，那么doors就开了。

可以得到这些事实：

• 单身汉不在家里。
• bush不在家里。

请确定那些门是锁住的，哪些是开着的。

请你给出一个表示结果的元组，元组中包含三个元素，对应每个门。用1表示锁住，0表示开着。

解题思路

这是一道典型的逻辑推理题，由题目中的陈述可以得到以下几个命题：

1. P1: james在家里，Q1: bush不在家里。
2. P2: bush失踪了，Q2: 门1开。
3. P3: james在家里，Q3: 门2锁住。
4. P4: 单身汉在家里，Q4: bush在家里。
5. P5: 单身汉在家里，Q5: doors开了。

用命题逻辑符号表示，可以得到以下公式：

1. P1 → ¬Q1
2. Q2 → ¬P2
3. P3 → Q3
4. P4 → Q4
5. P5 → Q5

其中，→ 表示蕴含，¬ 表示取反。

有了这些公式，我们就可以开始推理了。我们把门看作是命题变量，用符号代表它们的真假值。比如，如果门1是锁住的，就记做 Q1=1。

由题意得，单身汉和bush不在家里，即 P4=0，Q4=0，P1=0，Q1=1。代入公式中，可以得到：

1. 0 → ¬1
2. Q2 → ¬P2
3. 0 → Q3
4. 0 → 0
5. 0 → Q5

化简得：

1. 1
2. Q2 → ¬P2
3. Q3
4. 1
5. Q5

通过推理得到，门1和门4是锁住的，门2和门3是开着的。

用元组表示结果：(1, 0, 0)

参考代码

# 门 | GATE-CS-2005 | 问题 37

## 结论

由命题公式和推理结果可得，门1和门4是锁住的，门2和门3是开着的。

表示结果的元组：`(1, 0, 0)`。

## 解题思路

详见上文解题思路部分。