门 | GATE-CS-2005 | 问题 13

本问题是关于有向图和强连通分量的算法的。

问题描述

给定一个有向图，请写出一个算法来计算它的强连通分量。请分析你的算法的时间复杂度。

算法思路

强连通分量是指有向图中的极大子集，其中两个顶点可以相互到达。强连通分量算法需要进行两遍深度优先搜索。第一遍是在图中进行 DFS，并存储每个节点的完成时间。第二遍是对图进行变形，以反向边为边的图，并按照完成时间的相反顺序进行 DFS。在第二遍 DFS 中，每个遍历到的节点都可以形成一个强连通分量。

具体算法流程如下：

1. 对原图进行一次 DFS，并记录每个节点的完成时间；
2. 对原图进行反向操作，即将所有边进行翻转，得到反向图；
3. 按每个节点完成时间的逆序进行 DFS，对反向图进行搜索；
4. 在第二次 DFS 中，每个遍历到的节点都可以形成一个强连通分量（不能被再分割）。

时间复杂度

该算法的时间复杂度为O(V+E)，其中 V 和 E 分别是图的定点数和边数。因为需要进行两次深度优先搜索，所以时间复杂度不能低于 O(V+E)。

代码实现

下面是针对该问题的Python代码实现：

def dfs(graph, visited, order, i):
    visited[i] = True

    for j in graph[i]:
        if not visited[j]:
            dfs(graph, visited, order, j)

    order.append(i)

def get_strongly_connected_components(graph):
    visited = [False] * len(graph)
    order = []

    for i in range(len(graph)):
        if not visited[i]:
            dfs(graph, visited, order, i)

    graph_transpose = [[] for _ in range(len(graph))]
    for i in range(len(graph)):
        for j in graph[i]:
            graph_transpose[j].append(i)

    visited = [False] * len(graph)
    components = []
    order.reverse()

    for i in order:
        if not visited[i]:
            component = []
            dfs(graph_transpose, visited, component, i)
            components.append(component)

    return components

备注：这里实现的函数 get_strongly_connected_components 接受一个有向图的邻接表作为参数，并返回该图的所有强连通分量。