门| GATE-CS-2005 |第 74 题

本文将介绍 GATE-CS-2005 中的第 74 题，该题目涉及到有向图的遍历以及拓扑排序。

题目描述

给定一张 $n$ 个顶点的有向图 $G$，顶点从 $0$ 到 $n-1$ 编号，同时给定一个初始顶点 $s$ 和一个终止顶点 $t$，求从 $s$ 到 $t$ 的所有简单路径中的最长路径长度。

输入格式

第一行包含一个整数 $n$，表示有向图 $G$ 的顶点个数。接下来 $n$ 行，每行包含 $n$ 个整数，其中第 $i$ 行第 $j$ 个整数表示从顶点 $i$ 到顶点 $j$ 的边的长度。若从顶点 $i$ 到顶点 $j$ 不存在边，则为 $-1$。最后一行包含两个整数 $s$ 和 $t$，表示初始顶点和终止顶点。

输出格式

输出一个整数，表示从 $s$ 到 $t$ 的所有简单路径中的最长路径长度。如果不存在从 $s$ 到 $t$ 的路径，输出 $-1$。

算法分析

遍历所有简单路径

可以使用深度优先搜索（DFS）遍历图 $G$ 中所有从 $s$ 到 $t$ 的简单路径，对于每个遍历到的简单路径，记录其长度并和已经记录的最长路径长度进行比较。

单源最长路径

使用拓扑排序和动态规划的方法求解单源最长路径问题。具体来说，先对图进行拓扑排序，然后按照拓扑排序的顺序依次更新每个顶点的最长路径长度。

代码实现

遍历所有简单路径

def dfs(s, t, G, visited, path, max_len):
    """
    搜索 s 到 t 的所有简单路径，更新最长路径长度。
    """
    if s == t:
        max_len = max(max_len, sum(path))
        return max_len

    for i in range(len(G)):
        if visited[i] or G[s][i] == -1:
            continue
        visited[i] = True
        path.append(G[s][i])
        max_len = dfs(i, t, G, visited, path, max_len)
        path.pop()
        visited[i] = False

    return max_len

单源最长路径

import collections

def topo_sort(G):
    # 统计每个顶点的入度
    in_degree = [0] * len(G)
    for i in range(len(G)):
        for j in range(len(G)):
            if G[i][j] != -1:
                in_degree[j] += 1

    # 拓扑排序（BFS）
    queue = collections.deque([i for i in range(len(G)) if in_degree[i] == 0])
    while queue:
        u = queue.popleft()
        for v in range(len(G)):
            if G[u][v] != -1:
                in_degree[v] -= 1
                if in_degree[v] == 0:
                    queue.append(v)
        yield u

def longest_path(s, t, G):
    # 拓扑排序
    order = list(topo_sort(G))
    if s not in order or t not in order:
        return -1

    # 初始化
    dist = [-1] * len(G)
    dist[s] = 0

    # 动态规划
    for u in order:
        for v in range(len(G)):
            if G[u][v] != -1:
                dist[v] = max(dist[v], dist[u] + G[u][v])

    return dist[t]

总结

本文介绍了 GATE-CS-2005 中的第 74 题，涉及到有向图的遍历以及拓扑排序。对于遍历所有简单路径的方法，可以使用深度优先搜索（DFS）；对于求解单源最长路径问题，可以使用拓扑排序和动态规划的方法。