题目描述

这道题目出自于2000年的GATE-CS考试，是一道算法问题。问题描述如下：

已知一组数列 a[1..n]，现在你需要设计一个算法，满足以下要求：

• 算法的运行时间为 O(n)
• 算法必须找到一个下标 i（0<i<n），满足：a[1..i] 中的最大值等于 a[i+1..n] 中的最小值。

你需要实现这个算法。

解题思路

这道题目的解题思路并不是很难想。下面是算法的伪代码。

1. 如果 n < 2，返回 False。
2. 找到 a[1..n] 中的最大值和最小值。
3. 记录最大值的下标 maxIndex 以及最小值的下标 minIndex。
4. 如果 maxIndex < minIndex，返回 True；否则返回 False。

算法的正确性比较显然。首先，a[1..n] 中的最大值所处的位置必然在 [1,n] 的范围内，a[i+1..n] 中的最小值所处的位置也必然在 [1,n] 的范围内。同时，如果最大值和最小值都在 a[1..i] 中，那么一定存在最小的 j（i<j<=n）满足 a[j] < a[i]，因此可以将 i 的位置移动到 j。

代码实现

下面是代码的实现。由于题目要求代码必须运行在 O(n) 的时间复杂度内，因此这里使用了一个循环遍历的方式来查找最小值和最大值，而没有使用标准库提供的函数。

def find_dividing_index(a):
    # 如果长度小于 2，返回 False。
    if len(a) < 2:
        return False
    
    # 找到最大值和最小值的位置。
    maxIndex = 0
    minIndex = 0
    for i in range(1, len(a)):
        if a[i] > a[maxIndex]:
            maxIndex = i
        if a[i] < a[minIndex]:
            minIndex = i
    
    # 如果最大值在最小值的前面，返回 True；否则返回 False。
    return maxIndex < minIndex

这样，就完成了这道算法题目的实现。