门 | GATE MOCK 2017 | 问题29

这道题目是2017年的GATE模拟赛中的一道题目，考察了求解组合问题的能力。

题目描述

有一个$n\times m$的矩阵，矩阵中所有元素都是0或1。现在要做的是，找到一个最大的正方形（边长最长），并且该正方形的每一行和每一列中恰有k个1。如果存在这样一个正方形，请输出它的边长，否则输出-1。

解题思路

解题思路主要分为两个部分：寻找每一列和每一行的1的个数，以及通过动态规划求解最大的正方形。

首先，我们可以遍历整个矩阵，记录每一行和每一列中1的个数，这个操作可以在$O(nm)$时间内完成。

然后，我们可以使用动态规划来求解最大的正方形。我们可以使用一个二维数组$dp$来记录，$dp[i][j]$表示以$(i,j)$为右下角的正方形最大的边长。转移方程如下：

$$ dp[i][j] = \begin{cases} \min(dp[i][j-1],dp[i-1][j],dp[i-1][j-1])+1 & \text{if }a[i][j]=1\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

其中，$a[i][j]$表示矩阵中第$i$行，第$j$列的元素。

最后，我们可以将所有符合条件的边长取$max$，即为所求的结果。

代码实现

def find_maximum_square(n, m, k, matrix):
    row_ones = [0] * n
    col_ones = [0] * m
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if matrix[i][j] == 1:
                row_ones[i] += 1
                col_ones[j] += 1

    max_side = -1
    for side in range(1, min(n, m) + 1):
        for i in range(n - side + 1):
            for j in range(m - side + 1):
                if sum(row_ones[i:i+side]) == k*side and sum(col_ones[j:j+side]) == k*side:
                    max_side = max(max_side, side)

    return max_side

n = 3
m = 3
k = 2
matrix = [[1, 0, 1], [0, 1, 1], [0, 1, 0]]

print(find_maximum_square(n, m, k, matrix))

代码中，$row_ones$和$col_ones$分别记录每一行和每一列中1的个数，$side$表示正方形的边长。在第二重循环中，我们枚举正方形的起始行和起始列。在第三重循环中，我们检查该正方形的每一行和每一列中1的个数是否符合题目要求。如果符合要求，则更新$max_side$。

最后，我们返回$max_side$即可。