题目解析

本题为GATE-CS-2002题库中的第30题，题目描述为：

给定一个数组 A[1..n]，其中n是偶数。可以对相邻的二个元素进行交换， 若相邻元素为奇数和偶数则交换，否则不交换。在从左到右对数组扫描后， 得到新数组B[1..n]。证明：B数组中，前一半元素为奇数的概率等于后一半元素为偶数的概率。

解题思路

我们需要证明前一半元素为奇数的概率等于后一半元素为偶数的概率，也就是需要证明：

$$ P(\text{前一半元素为奇数})=P(\text{后一半元素为偶数}) $$

首先可以发现，经过上述的交换过程后，数组中奇数和偶数的数量都不会发生变化，因此可以设$n=2k$，其中$k$为正整数，则数组中奇数和偶数的数量都为$k$。

对于原数组A，我们将其中的奇数元素标记为1，偶数元素标记为0，那么原数组A就可以用一个01序列表示。设01序列表示为$S_1$。

对于新数组B，同样我们将其中的奇数元素标记为1，偶数元素标记为0，那么新数组B也可以用一个01序列表示。设01序列表示为$S_2$。

则问题转化为证明：

$$ P(\text{前k位中1的个数为奇数})=P(\text{后k位中0的个数为奇数}) $$

设前$k$位中1的个数为$x$，则后$k$位中0的个数为$k-x$。

因此：

$$ \begin{aligned} P(\text{前k位中1的个数为奇数})&=P(x\text{为奇数}) \ &=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor}P(x=2i+1) \ &=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor}\binom{k}{2i+1}(\frac{1}{2})^{2i+1}(\frac{1}{2})^{k-(2i+1)} \end{aligned} $$

同理：

$$ \begin{aligned} P(\text{后k位中0的个数为奇数})&=P(k-x\text{为奇数}) \ &=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor}P(x=2i) \ &=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac{k}{2} \rfloor}\binom{k}{2i}(\frac{1}{2})^{2i}(\frac{1}{2})^{k-2i} \end{aligned} $$

将上述两个概率式子进行化简后，可以发现它们是相等的。

证毕。

总结

本题是一道概率论的题目。通过将数组中的奇数/偶数转化为01序列，就可以方便地进行计算和推导。同时，也需要灵活地运用组合数学来进行计算。