构建下推自动机

构建下推自动机是形式语言与自动机理论中重要的一环。本文将介绍如何构建下推自动机，并以$L={a^nba^{2n} | n\geq0}$为例进行说明。

下推自动机简介

下推自动机是一种重要的有限状态自动机，它可以识别一些上下文无关语言，是计算理论和编译原理中非常重要的一种自动机。下推自动机由一个有限状态控制器和一条栈组成，可以在有限状态下自由改变栈的内容，用于处理上下文无关语言。下推自动机中的栈常常称为"下推栈"，因此下推自动机又称为"有限状态下推自动机"。

构建下推自动机

下推自动机是一种比较复杂的自动机，在构建时需要考虑很多因素，包括有限状态控制器的设计、栈的使用和转移函数的确定等。

构建步骤

下面我们将简要介绍构建下推自动机的步骤：

1. 确定输入字符集和栈字符集。输入字符集通常为字母表的一部分，栈字符集通常为与输入字符集不同的一部分。
2. 确定状态集合及状态转移。根据输入字符和栈字符集合及其转移，建立状态集。
3. 给出状态转移函数。状态转移函数的输出为下推自动机的新状态，以及栈中存放的新字符。
4. 确定初始状态和终止状态。初始状态通常为状态集合中的一个状态，根据状态转移函数对它进行状态转移操作。终止状态是下推自动机接受输入串所需达到的状态。

构建下推自动机示例

我们以$L={a^nba^{2n} | n\geq0}$为例，构建下推自动机。先给出该语言的一个文法：

$S \rightarrow aSaa|b$

这个文法定义了一个上下文无关语言，它由以"b"结尾的字符串组成。字符串的前半部分是若干个"a"，后半部分是前半部分长度的平方个"a"。

下面我们将利用这个文法构建下推自动机。

1. 确定输入字符集和栈字符集。

输入字符集为 { a, b }，栈字符集为 { A }。

2. 确定状态集合及状态转移。

我们由文法 $S \rightarrow aSaa|b$ 得到四个状态：

$S_0$：初始状态，等待任何输入。

$S_1$：读取到一个"a"后的状态。

$S_2$：读取到一个"b"后的状态。

$S_3$：读取完所有"a"后的状态。

状态之间的转移如下：

| 状态 | 输入 | 栈顶字符 | 转移到状态 | 栈操作 | |------|------|----------|------------|-----------| | $S_0$ | a | $Z_0$ | $S_1$ | $\langle A,Z_0\rangle$ | | $S_1$ | a | $A$ | $S_1$ | $\langle A,A\rangle$ | | $S_1$ | b | $A$ | $S_2$ | $\langle ,\lambda\rangle$ | | $S_2$ | a | $A$ | $S_3$ | $\langle ,\lambda\rangle$ | | $S_3$ | a | $A$ | $S_3$ | $\langle ,\lambda\rangle$ |

其中$Z_0$是栈的初始符号，$\lambda$表示弹出栈顶符号。

3. 给出状态转移函数。

通过状态转移表，可以得到状态转移函数$\delta$的定义如下：

$\delta(S_0,a,Z_0) ={\langle S_1,\langle A,Z_0\rangle\rangle}$

$\delta(S_1,a,A) ={\langle S_1,\langle A,A\rangle\rangle}$

$\delta(S_1,b,A) ={\langle S_2,\langle ,\lambda\rangle\rangle}$

$\delta(S_2,a,A) ={\langle S_3,\langle ,\lambda\rangle\rangle}$

$\delta(S_3,a,A) ={\langle S_3,\langle ,\lambda\rangle\rangle}$

4. 确定初始状态和终止状态。

初始状态为$S_0$，终止状态为$S_2$。

总结

在本文中，我们介绍了下推自动机的基本概念、构建步骤和示例。构建下推自动机是一个比较复杂的过程，需要考虑很多因素。但是，了解下推自动机的概念和应用是我们理解计算理论和编译原理的重要途径，相信通过本文的介绍，读者对下推自动机的构建和应用已经有了基本的了解。