门 | GATE CS Mock 2018 |问题 29

这道题目考察的是图的欧拉通路问题。欧拉路径通常被定义为只包含每个节点一次的路径。欧拉回路是欧拉路径的特定类型，它通过原点恰好一次

这道题目给出一个无向图，需要判断它是否具有欧拉通路或欧拉回路。如果它有欧拉回路或欧拉通路，那么我们就需要输出“YES”，否则输出“NO”。

算法思路

我们可以使用DFS或BFS算法来解决欧拉路径问题。下面我们使用DFS算法解决这道题目。

• 首先，我们需要定义一个函数 is_connected(graph)，用来判断给定的图是否是连通的。在这个函数中，我们使用DFS算法遍历整个图，如果我们在遍历的过程中发现没有访问到所有的节点，那么就说明这个图不是连通的。

• 如果这个图是连通的，那么我们接下来就需要使用 count_odd_nodes(graph) 函数来计算这个图中度数为奇数的节点的数目 cnt_odd。如果 cnt_odd 等于0，那么这个图就是欧拉回路，否则如果 cnt_odd 等于2，那么这个图就是欧拉通路，否则这个图就没有欧拉路径。

代码实现

下面是使用Python编写的具有详细注释的代码实现。

from collections import defaultdict # 导入collections模块中的defaultdict类

# 定义一个函数来判断给定的图是否是连通的
def is_connected(graph):
    visited_nodes = set() # 定义一个集合来存储已经被访问的节点
    dfs_stack = [list(graph.keys())[0]] # 定义一个列表来存储DFS遍历时的节点，并将它初始化为列表中的第一个节点
    while dfs_stack:
        current_node = dfs_stack.pop() #弹出列表中的最后一个元素，即栈顶
        if current_node not in visited_nodes: #当前节点没有被访问过
            visited_nodes.add(current_node) #把当前节点加入到集合中
            dfs_stack.extend([v for v in graph[current_node] if v not in visited_nodes]) #把当前节点的所有邻居节点加入到栈中
    return len(visited_nodes) == len(graph) #如果已经遍历了所有的节点，则表示这个图是连通的

# 定义一个函数来计算图中度数为奇数的节点的数目
def count_odd_nodes(graph):
    cnt_odd = 0 # 初始化度数为奇数的节点个数为0
    for node in graph: # 对于每一个节点
        if len(graph[node]) % 2 != 0: # 如果这个节点的度数是奇数
            cnt_odd += 1 # 则把度数为奇数的节点的个数加1
    return cnt_odd

# 主函数
if __name__ == '__main__':
    graph = defaultdict(set) # 定义一个defaultdict类的对象graph，用来存储图的节点和它的邻居节点
    n = int(input()) # 读入图中节点的个数
    for _ in range(n): # 读入每一条边的信息
        node1, node2 = map(int, input().split()) # 读入一条边，它连接着node1和node2两个节点
        graph[node1].add(node2) # 把node2加入到node1的邻居节点中
        graph[node2].add(node1) # 把node1加入到node2的邻居节点中

    # 检查这个图是否是连通的
    if not is_connected(graph):
        print('NO')
    else:
        cnt_odd = count_odd_nodes(graph) # 计算度数为奇数的节点的个数
        if cnt_odd == 0: # 如果度数为奇数的节点个数为0
            print('YES')
        elif cnt_odd == 2: # 如果度数为奇数的节点个数为2
            print('YES')
        else: # 如果度数为奇数的节点个数不为0也不为2
            print('NO')

时间复杂度分析

• 构建图的时间复杂度为 O(m)，其中 m 表示边的数目；
• DFS算法的时间复杂度为 O(m+n)，其中 n 表示节点的数目，而 m 表示边的数目；
• count_odd_nodes(graph) 的时间复杂度为 O(n)，其中 n 表示节点的数目；
• 因此，整个算法的时间复杂度为 O(m+n)。

空间复杂度分析

我们采用了邻接表的方式存储图，因此它的空间复杂度为 O(m+n)，其中 n 表示节点的数目，而 m 表示边的数目。由于 count_odd_nodes(graph) 函数只使用了常数个变量，因此它的空间复杂度为 O(1)。因此，整个算法的空间复杂度为 O(m+n)。