问题29

给定一个长度为N的数字序列A1,A2,…,AN。序列中存在一个连续子序列Ai,Ai+1,…,Aj，它是一个等差数列。编写一个程序，对于给定的数字序列，确定它是是否包含一个等差数列。如果它包含等差数列，则将等差数列中的前五个数输出。

函数签名：

def get_arithmetic_progression(numbers: List[int]) -> List[int]:
    pass

输入描述：

第一行包含一个整数N，表示数字序列中的元素数量。

第二行包含N个用空格分隔的整数A1,A2,…,AN，表示数字序列中的元素。

输出描述：

如果数字序列中存在一个等差数列，则打印该等差数列的前五个元素，以空格分隔。

如果数字序列中不存在等差数列，则打印字符串“No arithmetic progression found.”

解题思路

题目的要求是在一个给定的序列中，找到一个长度大于等于3的等差数列。等差数列中的差可以是任意一个整数，包括负整数。

对于这个问题，最简单的思路是对于每一个元素，遍历它之后的所有元素，找到一个长度至少为3的等差数列，输出前五个元素即可。这个思路可以通过两个嵌套的循环来实现。

但是，这种暴力的解法时间复杂度为O(n^3)，会在数据规模较大时超时。因此，我们需要寻找更加高效的解法。

针对这个问题，我们可以使用动态规划的思路来解决。我们维护一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示以数字序列中第i个数字结尾，以差为j的等差数列的长度。注意到，当我们确定了一个等差数列的起始位置和公差之后，整个等差数列也就唯一确定了。因此，我们可以用dp数组来记录所有可能的等差数列的长度，并在遍历序列时不断更新。

具体来说，我们遍历数字序列中的每一个数字，假设当前数字为numbers[i]。对于每一个数字，我们都将其加入到前面所有可能的等差数列中。因此，对于以当前数字为结尾的等差数列，其公差可以是从第一个数字到当前数字的任何一个数字之间的差，即可以是numbers[i]-numbers[k]，其中0<=k<i。因此，我们可以从dp[k][numbers[i]-numbers[k]]中获取以数字序列中第k个数字结尾的公差为numbers[i]-numbers[k]的等差数列的长度，然后再加上1，这样就得到了以数字序列中第i个数字结尾、以公差为numbers[i]-numbers[k]的等差数列的长度，即dp[i][numbers[i]-numbers[k]]。

最后，我们再遍历dp数组，找到其中长度大于等于3的等差数列即可。

代码

from typing import List

def get_arithmetic_progression(numbers: List[int]) -> List[int]:
    n = len(numbers)
    if n < 3:
        return "No arithmetic progression found."
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, i):
            diff = numbers[i-1] - numbers[j-1]
            dp[i][diff] = max(dp[j][diff] + 1, dp[i][diff])
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, i):
            diff = numbers[i-1] - numbers[j-1]
            if dp[i][diff] >= 2:
                result = [numbers[k-1] for k in range(j, i+1)
                          if numbers[k-1] == numbers[j-1] + (k-j) * diff]
                if len(result) >= 5:
                    return result[:5]
    return "No arithmetic progression found."

以上是该程序的Python代码，针对输入描述中的输入数据格式，假设输入的数字序列为一个列表，用get_arithmetic_progression函数来处理。由于函数参数中使用了类型注解，因此可以方便地使用Python自带的mypy模块来检查函数参数的类型是否与注解一致。在程序中，我们首先对输入数据的长度进行了特判，如果长度小于3，则直接输出"No arithmetic progression found."。接着，我们初始化了一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示以数字序列中第i个数字结尾、以差为j的等差数列的长度。注意到，dp数组的第一个下标是1而不是0，是为了方便计算。对于每一个数字，我们都将其加入到前面所有可能的等差数列中。因此，对于以当前数字为结尾的等差数列，其公差可以是从第一个数字到当前数字的任何一个数字之间的差，即可以是numbers[i]-numbers[k]，其中0<=k<i。因此，我们可以从dp[k][numbers[i]-numbers[k]]中获取以数字序列中第k个数字结尾的公差为numbers[i]-numbers[k]的等差数列的长度，然后再加上1，这样就得到了以数字序列中第i个数字结尾、以公差为numbers[i]-numbers[k]的等差数列的长度，即dp[i][numbers[i]-numbers[k]]。最后，我们再遍历dp数组，找到其中长度大于等于3的等差数列即可。