求解给定树的求和树中任何两个加权节点之间的最小差

在树结构中，节点的权值是一个非常重要的概念。在给定树中，我们可以利用每个节点的权值构建出一棵求和树，也称为加权树。在求和树中，每个节点的值是原树中当前节点及其子节点权值之和。

本篇文章将介绍如何求解给定树的求和树中任何两个加权节点之间的最小差。下面我们将分别对算法的原理、实现以及时间复杂度进行讲解。

算法原理

首先，我们需要对该问题进行正式的定义。设给定树的求和树为T，T上有n个叶子节点。对任意两个加权节点v1和v2，从v1到v2的路径包含若干条边，每条边的边权为所连两个节点的差的绝对值。我们要求解的便是从所有路径中选取一条，使其边权和最小。

根据以上问题的定义，我们可以同样定义一种加权路径的方式，在路径的每个节点上，我们将其权值取相反数，并将新的路径权值赋值给其原有的边权。这样，我们的问题就转化成了从求和树的任意一个节点出发，经过所有叶子节点仅一次，最终回到原节点，使得路径权值之和最大。

现在，我们可以使用Kruskal算法对求和树T进行加边操作，得到一棵生成树S。我们将S中任意两个节点之间的路径表示为P，并将P中路径的最大边权称为P的边界k。那么，所求解的问题答案便是所有路径的边界k中的最小值。

算法实现

为了更好地实现算法，我们可以先将求和树上每个节点的权值进行编号。定义一个权值为w的节点的编号为v(w) = w，权值为零的节点编号为v(ε) = 0。这样，我们可以用一个长度为n + 1的数组F保存每个编号在生成树S中的父节点编号。其中，F[0]保存了原来求和树的根节点编号。

def find(x, F):
    if F[x] == x:
        return x
    F[x] = find(F[x], F)
    return F[x]

def kruskal(n, edge):
    edge.sort()
    F = [i for i in range(n + 1)]
    cnt = 0
    ans = 0
    for (w, u, v) in edge:
        fx, fy = find(u, F), find(v, F)
        if fx != fy:
            cnt += 1
            ans += w
            F[fx] = fy
        if cnt == n:
            break
    return ans

def get_min_diff(n, w):
    edge = []
    for i in range(1, n + 1):
        edge.append((w[i] - w[0], i, 0))
    for i in range(1, n):
        p = find(i, F)
        edge.append((w[p] - w[i], i, p))
    ans = float('inf')
    for (w, u, v) in edge:
        ans = min(ans, w - kruskal(n, edge))
    return ans

以上是一个Python语言实现的求解最小差的算法代码。其中，kruskal()函数实现了Kruskal算法，get_min_diff()函数则是算法的主函数，它先将原来的求和树转化为编号树，之后对每个编号u，将(u, 0)和(u, v(w[u]))两条边加入到生成树中，并计算所有路径的最大边界k，从而得到问题的答案。

时间复杂度

根据算法的实现，我们可以发现时间复杂度主要来自于Kruskal算法的实现。实际上，输入数据的规模和Kruskal算法的时间复杂度密切相关。在本算法中，n个叶子节点中可能存在一些节点的权值相同，这会在边权计算时降低算法效率。此外，对于一个规模为n的生成树，Kruskal算法的时间复杂度为O(nlogn)。因此，总时间复杂度为O(n^2logn)。