找出给定立方方程的积分根

如果给定一个立方方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$，我们可以使用牛顿迭代法找到其一个实数根，并使用这个实数根来将原方程分解为一元二次方程的形式，从而求得其它两个复数根。

牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种求解数值逼近的方法，它通过不断地逼近一个函数的零点来计算其根。

对于一个方程 $f(x)=0$，我们假设其一个根为 $x_0$，则有 $f(x_0)=0$。对 $f(x)$ 进行泰勒展开，得到：

$$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2}f''(\xi)$$

其中 $\xi$ 是 $x_0$ 和 $x$ 之间的某个点。由于 $f(x_0)=0$，我们可以忽略掉第一项，得到：

$$x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$

这个公式称为牛顿迭代法的迭代公式。我们可以通过不断迭代来逐渐逼近方程的根。

具体地，我们从一个初始值 $x_0$ 开始迭代，每次更新 $x$ 的值为：

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

其中 $n$ 为迭代次数。当迭代次数达到一定值或者 $x_{n+1}$ 与 $x_n$ 的差值小于一定的阈值时，我们认为已经找到了一个根。

将立方方程分解为一元二次方程

我们假设 $x_0$ 是方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 的一个根，那么我们可以将原方程表示为：

$$ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_0)(x^2+px+q)$$

其中 $p$ 和 $q$ 是常数。我们将右边的括号展开，得到：

$$ax^3+bx^2+cx+d=ax^3+(p-ax_0)x^2+(q-px_0)x-aq$$

由此，我们可以得到两个方程：

$$p=ax_0-b/a$$

$$q=dx_0/a$$

将 $p$ 和 $q$ 的值代入二次项和常数项的系数中，得到一元二次方程的形式：

$$(x-x_0)(x^2+(ax_0-b/a)x+d/a)=0$$

其中，$(x-x_0)$ 是已知的一元一次因式，剩下的部分是一元二次方程 $x^2+(ax_0-b/a)x+d/a=0$。

实现代码

下面是 Python 代码实现，使用了 sympy 库中的牛顿迭代法函数：

from sympy import *

def solve_cubic_equation(a, b, c, d):
    # 定义方程式
    x = Symbol('x')
    f = a*x**3 + b*x**2 + c*x + d
    
    # 计算一阶和二阶导数
    f1 = diff(f, x)
    f2 = diff(f1, x)
    
    # 初始值
    x0 = -b/(3*a)
    
    # 牛顿迭代法求解根
    x = newton(f, x0)
    
    # 计算 p 和 q
    p = a*x**2 + b*x + c
    q = a*x**3 + b*x**2 + c*x + d
    
    # 计算另外两个根
    delta = p**2 - 4*a*q
    x1 = (-p+sqrt(delta))/(2*a)
    x2 = (-p-sqrt(delta))/(2*a)
    
    return [x, x1, x2]

结论

牛顿迭代法可以找到立方方程的一个实数根，从而将方程分解为一元二次方程的形式。使用这个方法，我们可以很方便地求解给定立方方程的所有根。