门 | GATE CS 2021 | 设置 2 | 第 34 题解析

本题考察了排序算法的实现和优化，要求实现一个基于比较的快速排序算法，并且要求在某些情况下进一步优化排序算法。

题目描述

给定一个由 $n$ 个整数组成的数组 $A$，请实现一个基于比较的快速排序算法，使得对于任意 $1\leq i\leq j \leq n$，有 $A[i] \le A[j]$。

请注意，你可以预处理一些信息，并在运行期间使用它来加速算法，但不能通过改变数组 $A$ 中的元素顺序来达到更优的时间复杂度。

进一步，当 $n$ 很大时，快速排序算法的运行时间并不一定是最优的。因此，如果 $A$ 中包含很多重复元素，则另一种或多种排序算法可能运行得更快。

因此，在您的答案中，请考虑进一步优化您的算法，以便在某些情况下更快地排序。

解题思路

快速排序

快速排序是一个基于分治的排序算法，其基本思想是：

1. 选定数组中的一个元素作为基准数。
2. 将数组中小于该元素的数放在该元素的左边，大于该元素的数放在该元素的右边，等于该元素的数可以放到任意一边。
3. 对左右两个子数组递归地执行步骤 1 和 2，直到子数组的大小为 $1$ 或 $0$。

步骤 2 可以使用两个指针实现，一个从左往右扫描数组，一个从右往左扫描数组，直到两个指针相遇，将相遇位置左边的数与基准数交换位置。

快速排序的时间复杂度为 $O(n \log n)$，空间复杂度为 $O(\log n)$（递归调用栈的深度）。

优化策略

为了进一步优化快速排序算法，需要考虑两个方面：

1. 当 $n$ 很小时（具体的值可能与机器等因素有关），可以采用插入排序等其他排序算法代替快速排序来获得更好的效率。
2. 当 $A$ 中包含很多重复元素时，快速排序的效率可能不如其他一些排序算法，比如计数排序、桶排序等。

因此，在实现快速排序算法时，可以设置一个阈值 $k$，当待排序的数组大小小于 $k$ 时，采用插入排序算法。而为了应对重复元素的情况，可以采用三路快排算法来改进。

三路快排算法的基本思想是将数组分为三个子数组，分别存放小于、等于和大于基准元素的数，再分别对左、右两个子数组递归地进行排序即可。

程序实现

快速排序

快速排序的代码非常简单，只需要按照步骤 1 和 2 实现即可。在实现时，需要注意的一些细节：

1. 如何选定基准元素。通常情况下，可以随机选取一个位置的元素作为基准元素。这样可以避免某些特殊情况下 O(n^2) 的时间复杂度，并且可以平均降低递归树的高度。
2. 如何处理相等的元素。可以采用双指针法，在左指针找到第一个大于等于基准元素的位置后，右指针从右边开始寻找第一个小于等于基准元素的位置，然后交换左右指针指向的元素即可。

下面是基于 C++ 实现的快速排序代码（假设基准元素为 A[l]）：

int partition(vector<int>& A, int l, int r) {
    int pivot = A[l], i = l + 1, j = r;
    while (i <= j) {
        if (A[i] < pivot) { i++; continue; }
        if (A[j] > pivot) { j--; continue; }
        swap(A[i], A[j]);
    }
    swap(A[l], A[j]);
    return j;
}

void quick_sort(vector<int>& A, int l, int r) {
    if (l >= r) return;
    int pivot_idx = partition(A, l, r);
    quick_sort(A, l, pivot_idx - 1);
    quick_sort(A, pivot_idx + 1, r);
}

void quick_sort(vector<int>& A) {
    quick_sort(A, 0, A.size() - 1);
}

三路快排

三路快排的实现和普通快排类似，只是需要增加一些判断和细节处理。具体实现时，可以使用三个指针来分别指向小于、等于和大于基准元素的位置，然后双指针从左右两边进行扫描和交换。

下面是基于 C++ 实现的三路快排代码：

void quick_sort3(vector<int>& A, int l, int r) {
    if (l >= r) return;
    int pivot = A[l], lt = l, gt = r, i = l + 1;
    while (i <= gt) {
        if (A[i] < pivot) { swap(A[i], A[lt]); i++; lt++; }
        else if (A[i] > pivot) { swap(A[i], A[gt]); gt--; }
        else i++;
    }
    quick_sort3(A, l, lt - 1);
    quick_sort3(A, gt + 1, r);
}

void quick_sort3(vector<int>& A) {
    quick_sort3(A, 0, A.size() - 1);
}

优化

为了进一步优化快速排序算法，可以设置一个阈值 $k$，当待排序的数组大小小于 $k$ 时，采用插入排序算法。在实现插入排序算法时，可以对数组按照步长为 $k$ 进行分组，然后对每个分组内的元素进行插入排序，最后再对整个数组进行一次插入排序即可。

下面是基于 C++ 实现的带优化的快速排序代码：

const int INSERTION_THRESHOLD = 10;

void quick_sort_insertion(vector<int>& A, int l, int r) {
    if (r - l + 1 < INSERTION_THRESHOLD) {
        for (int i = l + 1; i <= r; i++) {
            int key = A[i], j = i - 1;
            while (j >= l && A[j] > key) {
                A[j + 1] = A[j];
                j--;
            }
            A[j + 1] = key;
        }
        return;
    }
    int pivot_idx = partition(A, l, r);
    quick_sort_insertion(A, l, pivot_idx - 1);
    quick_sort_insertion(A, pivot_idx + 1, r);
}

void quick_sort_opt(vector<int>& A) {
    quick_sort_insertion(A, 0, A.size() - 1);
}

总结

本题考察了排序算法的实现和优化。快速排序是一种基于分治的排序算法，其时间复杂度为 $O(n \log n)$。为了进一步优化快速排序算法，可以采用插入排序、三路快排等算法或策略。