多项式评估的霍纳法

多项式评估是一个重要的计算问题，通常要求给定一个多项式和一个值，计算多项式在这个值处的取值。在实际应用中，多项式通常是通过一些运算得到的，因此需要高效的算法进行计算。

霍纳法是一种多项式评估的高效算法，它通过将多项式表达式变形，将多项式计算转化为加减乘除等基本运算的组合计算，从而降低了计算的复杂度。这种算法特别适合于多项式系数已知的情况，因为它可以只需要一次遍历多项式系数，不需要额外的存储空间。

算法思路

设有一个 $n$ 次多项式 $P(x)$，其表达式为

$$P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$$

其中 $n$ 是多项式次数，$a_i$ 是非负整数。可以将这个多项式变形为下面的形式：

$$P(x) = ((\cdots((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2}) \cdots ) x + a_1)x + a_0$$

这个表达式就是霍纳法的核心思想，它实际上是一种从高次项到低次项的累加式计算。具体来说，从左向右遍历，每次累加上一个常数，再乘上 $x$，继续计算下一个常数，直到最后得到多项式在 $x$ 处的取值。

这个表达式可以用如下的循环实现：

def horners_method(coefs, x):
    res = coefs[-1]
    for i in range(len(coefs)-2, -1, -1):
        res = res * x + coefs[i]
    return res

其中 coefs 是多项式系数列表，倒序存储。循环中的 range 函数从高次项开始遍历，依次计算每一项。

霍纳法的时间复杂度为 $O(n)$，和多项式次数成线性关系，因此相比于朴素的多项式计算，霍纳法可以在很大程度上减少计算次数，并提升运行效率。

总结

霍纳法是一种高效的多项式计算算法，在实际应用中经常被使用。它的算法思路简单，易于实现，同时时间复杂度较低，能够满足大部分实际应用的需求。如果您需要对多项式进行计算，可以考虑使用霍纳法进行优化。