📅  最后修改于: 2023-12-03 15:42:12.713000             🧑  作者: Mango
这是一道针对程序员的题目,涉及到了排序算法的优化和时间复杂度的计算。
给定一个长度为 $n$ 的数组,其中数字的范围是 $[1,k]$,需要用 $O(n \log \log k)$ 的时间复杂度进行排序。
由于数字的范围只有 $[1,k]$,可以使用计数排序。在计数排序时,我们需要确定一个分组大小 $m$,将原数组分成 $k/m$ 组,每组包含 $m$ 个数。对于每组,我们可以使用快速排序进行排序。对于每个数,可以用 $O(1)$ 的时间找到它所在组的位置,然后根据该组的大小进行选择性排序或快速排序。
假设 $m=\log k$,则分组的数量为 $k/\log k$,每组的大小为 $\log k$,因此快速排序的行为时间为 $O(k/\log k \cdot \log^2 k)$,即 $O(k \log k/\log^2 k)$。选择排序的行为时间为 $O(k/\log k \cdot \log^2 k)$,即 $O(k \log k/\log^2 k)$。因此计数排序的行为时间为 $O(k \log k/\log^2 k + n\log k)$,取决于选择快速排序还是选择性排序。
当 $m=\log \log k$ 时,分组的数量为 $k/\log \log k$,每组的大小为 $\log \log k$,因此快速排序的行为时间为 $O(k/\log \log k \cdot \log^2 \log k)$,即 $O(k \log \log k/\log^2 \log k)$。选择排序的行为时间为 $O(k/\log \log k \cdot \log^2 \log k)$,即 $O(k \log \log k/\log^2 \log k)$。因此计数排序的行为时间为 $O(k \log \log k/\log^2 \log k + n\log k)$,取决于选择快速排序还是选择性排序。
因此,当 $m=\log \log k$ 时,可以满足 $O(n \log \log k)$ 的时间复杂度要求。
## 解题思路
由于数字的范围只有 $[1,k]$,可以使用计数排序。在计数排序时,我们需要确定一个分组大小 $m$,将原数组分成 $k/m$ 组,每组包含 $m$ 个数。对于每组,我们可以使用快速排序进行排序。对于每个数,可以用 $O(1)$ 的时间找到它所在组的位置,然后根据该组的大小进行选择性排序或快速排序。
假设 $m=\log k$,则分组的数量为 $k/\log k$,每组的大小为 $\log k$,因此快速排序的行为时间为 $O(k/\log k \cdot \log^2 k)$,即 $O(k \log k/\log^2 k)$。选择排序的行为时间为 $O(k/\log k \cdot \log^2 k)$,即 $O(k \log k/\log^2 k)$。因此计数排序的行为时间为 $O(k \log k/\log^2 k + n\log k)$,取决于选择快速排序还是选择性排序。
当 $m=\log \log k$ 时,分组的数量为 $k/\log \log k$,每组的大小为 $\log \log k$,因此快速排序的行为时间为 $O(k/\log \log k \cdot \log^2 \log k)$,即 $O(k \log \log k/\log^2 \log k)$。选择排序的行为时间为 $O(k/\log \log k \cdot \log^2 \log k)$,即 $O(k \log \log k/\log^2 \log k)$。因此计数排序的行为时间为 $O(k \log \log k/\log^2 \log k + n\log k)$,取决于选择快速排序还是选择性排序。
因此,当 $m=\log \log k$ 时,可以满足 $O(n \log \log k)$ 的时间复杂度要求。