GATE CS 2021 设置 1 第 52 题介绍

这是一道针对程序员的题目，涉及到了排序算法的优化和时间复杂度的计算。

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的数组，其中数字的范围是 $[1,k]$，需要用 $O(n \log \log k)$ 的时间复杂度进行排序。

解题思路

由于数字的范围只有 $[1,k]$，可以使用计数排序。在计数排序时，我们需要确定一个分组大小 $m$，将原数组分成 $k/m$ 组，每组包含 $m$ 个数。对于每组，我们可以使用快速排序进行排序。对于每个数，可以用 $O(1)$ 的时间找到它所在组的位置，然后根据该组的大小进行选择性排序或快速排序。

假设 $m=\log k$，则分组的数量为 $k/\log k$，每组的大小为 $\log k$，因此快速排序的行为时间为 $O(k/\log k \cdot \log^2 k)$，即 $O(k \log k/\log^2 k)$。选择排序的行为时间为 $O(k/\log k \cdot \log^2 k)$，即 $O(k \log k/\log^2 k)$。因此计数排序的行为时间为 $O(k \log k/\log^2 k + n\log k)$，取决于选择快速排序还是选择性排序。

当 $m=\log \log k$ 时，分组的数量为 $k/\log \log k$，每组的大小为 $\log \log k$，因此快速排序的行为时间为 $O(k/\log \log k \cdot \log^2 \log k)$，即 $O(k \log \log k/\log^2 \log k)$。选择排序的行为时间为 $O(k/\log \log k \cdot \log^2 \log k)$，即 $O(k \log \log k/\log^2 \log k)$。因此计数排序的行为时间为 $O(k \log \log k/\log^2 \log k + n\log k)$，取决于选择快速排序还是选择性排序。

因此，当 $m=\log \log k$ 时，可以满足 $O(n \log \log k)$ 的时间复杂度要求。

## 解题思路

由于数字的范围只有 $[1,k]$，可以使用计数排序。在计数排序时，我们需要确定一个分组大小 $m$，将原数组分成 $k/m$ 组，每组包含 $m$ 个数。对于每组，我们可以使用快速排序进行排序。对于每个数，可以用 $O(1)$ 的时间找到它所在组的位置，然后根据该组的大小进行选择性排序或快速排序。

假设 $m=\log k$，则分组的数量为 $k/\log k$，每组的大小为 $\log k$，因此快速排序的行为时间为 $O(k/\log k \cdot \log^2 k)$，即 $O(k \log k/\log^2 k)$。选择排序的行为时间为 $O(k/\log k \cdot \log^2 k)$，即 $O(k \log k/\log^2 k)$。因此计数排序的行为时间为 $O(k \log k/\log^2 k + n\log k)$，取决于选择快速排序还是选择性排序。

当 $m=\log \log k$ 时，分组的数量为 $k/\log \log k$，每组的大小为 $\log \log k$，因此快速排序的行为时间为 $O(k/\log \log k \cdot \log^2 \log k)$，即 $O(k \log \log k/\log^2 \log k)$。选择排序的行为时间为 $O(k/\log \log k \cdot \log^2 \log k)$，即 $O(k \log \log k/\log^2 \log k)$。因此计数排序的行为时间为 $O(k \log \log k/\log^2 \log k + n\log k)$，取决于选择快速排序还是选择性排序。

因此，当 $m=\log \log k$ 时，可以满足 $O(n \log \log k)$ 的时间复杂度要求。