门 | GATE-CS-2000 | 问题30

这个题目是GATE计算机科学2000年的一道问题，涉及到图论中的最小生成树算法。下面将介绍题目内容、解题思路以及代码实现。

题目描述

给定一个加权无向图，找到一些边，使得它们构成一棵生成树，并且这些边的权重之和最小。

解题思路

这道题目可以使用Kruskal算法或Prim算法来解决。这里我们介绍Kruskal算法的解题思路。

Kruskal算法是一种初始为空的森林，每次将权重最小的边加入森林中。当森林中只有一棵树时停止。具体过程如下：

1. 将边按照权重从小到大排序；
2. 取出权重最小的一条边，如果它连接的两个顶点不在同一棵树中，则将这条边加入森林中；
3. 重复步骤2，直到森林中只有一棵树。

遍历所有边的时间复杂度为O(E log E)，其中E为边的数量。

代码实现

下面是Kruskal算法的Java代码实现：

import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;

public class Kruskal {
    private int[] parent;

    private int findParent(int i) {
        if (parent[i] == i) {
            return i;
        }
        return findParent(parent[i]);
    }

    private void union(int i, int j) {
        int parent_i = findParent(i);
        int parent_j = findParent(j);
        parent[parent_j] = parent_i;
    }

    public ArrayList<Edge> kruskalMST(ArrayList<Edge> edges, int numVertices) {
        // 初始化集合
        parent = new int[numVertices + 1];
        for (int i = 1; i <= numVertices; i++) {
            parent[i] = i;
        }

        // 将边按照权重排序
        Collections.sort(edges);

        ArrayList<Edge> mst = new ArrayList<>();
        for (Edge edge : edges) {
            // 如果加入这条边之后形成环，则不加入
            int parent1 = findParent(edge.getSrc());
            int parent2 = findParent(edge.getDest());
            if (parent1 == parent2) {
                continue;
            }

            // 将这条边加入MST
            mst.add(edge);

            // 合并连接的两个集合
            union(edge.getSrc(), edge.getDest());
        }
        return mst;
    }
}

代码中使用了一个Edge类来表示边，这个类需要自行实现。