检查给定的数组是否可以表示二叉搜索树的级别顺序遍历

介绍

二叉搜索树（Binary Search Tree，简称 BST）是一种有序的二叉树，对于 BST 中任意一个结点，它的左子树中的所有结点的值都小于等于它的值，而它的右子树中的所有结点的值都大于等于它的值。在一个 BST 中，每个结点都可以看作是一棵子树的根结点。

BST 的遍历方式包括先序遍历、中序遍历和后序遍历。而级别顺序遍历（Level Order Traversal）指的是按照从上到下、从左到右的顺序依次遍历 BST 中的每个结点。

给定一个数组，能否将其看作一个 BST 的级别顺序遍历结果呢？本篇文章将介绍解决这个问题的思路和方法。

思路

对于一个数组 arr，假设其可以表示一个 BST 的级别顺序遍历结果。那么，我们可以根据 BST 的定义，创建一个空树，将 arr 中的每个元素依次插入到这棵树中。如果最终得到的二叉树符合 BST 的定义，那么 arr 就是可行的结果，否则不可行。

在插入元素到树中时，我们从根结点开始搜索，一直到找到一个空位置，然后将该元素插入到这个空位置。在搜索过程中，如果发现当前结点的值与插入元素的值相等，那么就不能插入该元素，因为 BST 中每个结点的值都必须不相同。

由于需要对树中的每个结点进行遍历，因此我们可以使用 BFS（Breadth First Search）实现此算法。具体来说，使用队列按照 BFS 的顺序依次遍历每个结点，在遍历的过程中进行插入操作。

代码实现

下面是 Python 语言的实现代码，时间复杂度为 $O(n^2)$：

def is_level_order(arr):
    if not arr:
        return True
    n = len(arr)
    q = [arr[0]]  # 将第一个元素入队
    i = 1  # i 表示当前遍历到的 arr 中的元素下标
    while q:
        size = len(q)
        for _ in range(size):
            root_val = q.pop(0)  # 取出队列的头结点
            if i < n and arr[i] <= root_val:
                return False  # 插入左子树时出现不满足条件的值，返回 False
            if i < n:
                q.append(arr[i])  # 插入左子树的结点
                i += 1
            if i < n and arr[i] >= root_val:
                return False  # 插入右子树时出现不满足条件的值，返回 False
            if i < n:
                q.append(arr[i])  # 插入右子树的结点
                i += 1
    return True  # 执行完 BFS 没有出现不满足条件的结点，返回 True

其中 arr 表示待检查的数组。函数的返回值为布尔型，表示该数组是否可以表示二叉搜索树的级别顺序遍历。如果可以，返回 True，否则返回 False。

在实现过程中，我们使用了一个队列 q 存储每个结点的值。我们首先将队列的首元素入队，然后开启一个循环，不断地取出队列的头元素。对于每个取出的结点，我们首先检查该结点的左子树是否满足条件：如果待插入的元素小于等于该结点的值，或者已经遍历到了数组的结尾，那么说明该结点的左子树已经构建完成，我们可以跳过左子树的构建；否则，将待插入元素插入到该结点的左子树中。

接着，我们检查该结点的右子树是否满足条件。如果待插入的元素大于等于该结点的值，或者已经遍历到了数组的结尾，说明该结点的右子树已经构建完成。否则，将待插入元素插入到该结点的右子树中。

最后，我们检查整棵树是否符合 BST 的定义。如果没有不满足条件的结点，返回 True；否则，返回 False。

总结

本文介绍了如何使用 BFS 判断一个数组是否可以表示 BST 的级别顺序遍历。该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 表示数组的长度。我们可以使用队列进行 BFS 遍历，并在遍历过程中按照 BST 的定义进行结点插入操作。