门 | Gate IT 2007 | 问题29

这是一道经典的编程问题，通常出现在面试中。本题旨在测试您对算法和数据结构的理解以及解决问题的能力。

题目描述

有一排门，每扇门都有一个开启或关闭的状态。现在从第一扇门开始，进行以下操作：

1. 打开第一扇门。
2. 从第二扇门开始，每隔一扇门，就将门的状态取反。
3. 重复步骤2，直到结束。

例如，如果有6扇门，初始状态如下：

| 门号 | 状态 | | --- | --- | | 1 | 关闭 | | 2 | 关闭 | | 3 | 关闭 | | 4 | 关闭 | | 5 | 关闭 | | 6 | 关闭 |

第一次操作后，状态变为：

| 门号 | 状态 | | --- | --- | | 1 | 打开 | | 2 | 关闭 | | 3 | 打开 | | 4 | 关闭 | | 5 | 打开 | | 6 | 关闭 |

第二次操作后，状态变为：

| 门号 | 状态 | | --- | --- | | 1 | 打开 | | 2 | 关闭 | | 3 | 关闭 | | 4 | 关闭 | | 5 | 打开 | | 6 | 打开 |

第三次操作后，状态变为：

| 门号 | 状态 | | --- | --- | | 1 | 打开 | | 2 | 关闭 | | 3 | 关闭 | | 4 | 打开 | | 5 | 打开 | | 6 | 打开 |

问题是，在进行N次操作后，有哪些门是打开的？

算法思路

对于第i个门，只有在第j个操作（j是i的因子）时才会被改变状态。换句话说，如果i有k个因子，则第i个门状态会被取反k次。

因此，我们可以用一个计数器数组来记录每扇门状态被取反的次数。具体来说，对于第i个门，我们可以遍历从1到i的所有数字，判断其是否为i的因子，如果是，则将计数器加1。

当第k次操作时，我们只需遍历每扇门的计数器，如果计数器为奇数，则该门是开着的。

代码实现

下面是用Python实现该算法的代码：

def get_open_doors(n):
    # 初始化所有门都是关闭的
    doors = [0] * n

    # 遍历开关操作
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(i, n+1, i):
            doors[j-1] += 1

    # 返回被打开的门的编号
    return [i+1 for i in range(n) if doors[i] % 2 == 1]

总结

本题主要考察对算法和数据结构的理解，以及解决问题的能力。通过巧妙地利用因子的关系，我们可以用一个简单的计数器数组解决该问题。这不仅提高了算法的效率，而且使得代码更加简洁、易懂。