找到曼哈顿距离至少为 N 的整数点 (x, y)

曼哈顿距离是指在网格状的坐标系中，两个点的横坐标之差绝对值的和，与纵坐标之差绝对值的和，两部分数值之和的最小值。例如，点 (1,1) 和点 (4,5) 之间的曼哈顿距离为 7。给定一个整数 N，需要找到距离原点 (0,0) 距离至少为 N 的整数点 (x, y)。

实现思路

我们可以枚举点 (x, y) 的坐标，计算其与原点的曼哈顿距离是否大于等于 N，如果大于等于 N 就加入结果集合。需要注意的是，由于坐标值是整数，所以我们可以只枚举非负整数。

def find_points(N):
    points = set()
    for x in range(N+1):
        for y in range(N+1):
            if abs(x) + abs(y) >= N:
                points.add((x, y))
    return points

由于坐标值范围较小，所以暴力枚举即可。上述代码的时间复杂度为 $O(N^2)$，空间复杂度也为 $O(N^2)$。

进一步优化

我们可以发现，曼哈顿距离为 N 的点是由曼哈顿距离为 N-1 的点向上下左右四个方向扩展而来的。因此，我们可以把枚举坐标的过程改成从曼哈顿距离为 N-1 的点向四个方向扩展的过程。

def find_points(N):
    points = set()
    if N == 0:
        points.add((0, 0))
    else:
        prev_points = find_points(N-1)
        for x, y in prev_points:
            points.add((x+1, y))
            points.add((x-1, y))
            points.add((x, y+1))
            points.add((x, y-1))
    return points

上述代码的时间复杂度为 $O(N^2)$，但空间复杂度降为 $O(N)$。

总结

本题是一道简单的暴力枚举题目，但通过对问题的分析和思考，我们可以发现一些优化的空间，从而提高程序的效率。