DAA-小背包

简介

DAA-小背包是一个经典的动态规划问题，也是算法竞赛中的热门考点。给定一组物品，每件物品有自己的重量和价值，在限定的总重量内，选择其中若干件物品，使得它们的总重量不超过限制，并且总价值最大。

问题分析

该问题本质上是一个优化问题，需要找到一种算法来可靠地求解其最优解。由于物品的数量和选择是任意的，因此传统的暴力搜索方法往往会耗费大量时间，效率较低。动态规划作为一种高效的算法，为解决这类问题提供了一种有效的方案。

具体来讲，我们可以设计一个二维数组来保存每一轮选取物品时得到的最优解。设v[i][j]表示前i个物品的总重量不超过j的情况下所能获得的最大价值。则可以得到以下状态转移方程：

$$ v[i][j] = \max(v[i-1][j], v[i-1][j-w[i]] + p[i]) $$

其中，w[i]和p[i]分别为第i个物品的重量和价值。该方程可以理解为，在第i轮选取物品时，分为两种情况：选或不选。如果不选第i个物品，则继承上一轮选择的结果，即v[i-1][j]；如果选第i个物品，则加上它的价值，并扣除它的重量，即v[i-1][j-w[i]] + p[i]。最后，取两种情况中价值更高的一种作为当前状态的最优解。

代码实现

def knapsack(w, p, c):
    n = len(w)
    v = [[0 for j in range(c + 1)] for i in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, c + 1):
            if j < w[i - 1]:
                v[i][j] = v[i - 1][j]
            else:
                v[i][j] = max(v[i - 1][j], v[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1])
    return v[n][c]

在上述代码中，我们定义了一个knapsack函数，接收三个参数：w表示每个物品的重量列表，p表示每个物品的价值列表，c表示总重量限制。首先，我们初始化一个形状为(n+1)*(c+1)的二维数组v，其中元素全为0。接下来，我们利用两个嵌套的for循环，遍历数组v的每个位置，依次计算v[i][j]的值。在计算过程中，我们根据w[i-1]和p[i-1]来判断是否选择当前物品，以及如何更新状态转移方程。

最后，函数返回v[n][c]即可得到最优解。

性能分析

上述算法的时间复杂度为O(nc)，其中n为物品个数，c为总重量限制。而空间复杂度也为O(nc)，需要额外开辟一个二维数组来保存状态。因此，当n和c比较大时，该算法的效率可能比较低，需要进一步优化。例如，可以利用滚动数组的思想降低空间复杂度，或者采用贪心等启发式算法近似求解问题。