题目58：最小代价的切棒问题

这道题目是GATE-CS-2017考试中的一道题目，也是一道经典的动态规划问题。

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的钢条和一个价格表 $p_i$，其中 $i$ 表示钢条长度为 $i$ 时的价格。现在需要将这个长度为 $n$ 的钢条切成若干段，在切割的过程中，每次切割需要支付一个代价 $c$，现在要求设定切割方案，使得切割代价最小，并且每一段都是长度为 $1,2,3,...$ 中的一个整数。求出此时的最小代价。

解题思路

这道题目需要用到动态规划的思想，具体思路如下：

1. 定义状态：设 $f(n)$ 表示将长度为 $n$ 的钢条切割成若干段所需要的最小代价。
2. 状态转移方程：设 $j$ 表示第一次切割的位置，$p_j$ 表示该位置对应的长度的价格， 则 $f(n)=\min_{j=1}^{n}{f(n-j)+p_j+c}$。
3. 边界条件：$f(0)=0$。

限制每一段长度在 $1,2,3,...$ 中的一个整数，可以通过在状态转移方程中增加判断来实现。

实现代码

def cut_rod(n, p, c):
    f = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        f[i] = float('inf')
        for j in range(1, i + 1):
            if j <= len(p):
                f[i] = min(f[i], f[i - j] + p[j - 1] + c)
            else:
                f[i] = min(f[i], f[i - j] + c)
    return f[n]

以上就是针对这道题目的解题思路和代码实现。