长度为 N 且至少有 X 0 和 Y 1 的二进制字符串的计数

问题描述

给定一个长度为 N 的二进制字符串，求满足其中至少有 X 个 0 和 Y 个 1 的字符串的个数。

解决方案

题目中的字符串至少含有 X 个 0 和 Y 个 1，因此我们可以将问题转化为枚举字符串中 0 和 1 的出现次数，再计算符合条件的字符串个数。

首先考虑只含有 0 的字符串。我们可以用组合数学的方法求解，即从 N 个位中选取 X 个 0 的组合数，即 C(N, X)。接下来，考虑含有 1 的字符串。同理，从 N 个位中选取 Y 个 1 的组合数是 C(N, Y)。现在我们需要考虑既含有 0 又含有 1 的字符串了。

我们可以将问题拆分为两个子问题。首先，对于字符串中出现 0 的位置进行组合；然后，对于其余位置，选出剩余数量的 1，并把它们放置到组合出来的 0 的位置中。因此，字符串中 1 的个数将是 Y - X 个。所以，答案就是将 0 和 1 的位置组合起来的方案总数是 C(N, X) * C(N, Y) * C(X + Y, Y - X)。

代码实现

def count_binary_strings(n: int, x: int, y:int) -> int:
    # 计算 C(n, r)
    def comb(n, r):
        res = 1
        for i in range(r):
            res *= (n - i)
            res //= (i + 1)
        return res

    # 计算答案
    return comb(n, x) * comb(n, y) * comb(x + y, y - x)

性能分析

本算法计算每个二进制字符串的时间复杂度是 O(N)，即总的时间复杂度为 O(N)。由于我们只考虑三个组合数，因此空间复杂度也是 O(1)。

总结

本题要求我们计算长度为 N 的二进制字符串中，至少包含 X 个 0 和 Y 个 1 的字符串个数。我们可以将问题分解为两个子问题：分别计算 0 和 1 出现的方案数，然后将它们乘起来并针对可行的 0 和 1 的组合数量计算答案。这种方法的时间和空间复杂度都是 O(N)。