GATE-CS-2015（套装2）- Problem 15

本题要求我们设计一个二分查找算法。

问题描述

给定一个已排序的整数数组，我们需要实现一个函数int binarySearch(int[] A, int item, int low, int high)，它返回item在A中的位置，如果item不在数组A中，那么返回-1。此函数必须使用递归来实现，而非迭代。

解题思路

二分搜索算法是一种快速查找有序数组的算法。它的基本思想是先找到数组的中间元素，然后比较中间元素和要查找的元素的大小关系。如果要查找的元素小于中间元素，那么只需要在数组的左边查找；如果要查找的元素大于中间元素，那么只需要在数组的右边查找；如果要查找的元素等于中间元素，那么直接返回该位置即可。这个过程不断递归下去，直到找到要查找的元素或者未找到。

以下是二分查找的递归实现：

int binarySearch(int[] A, int item, int low, int high) {
    if (low > high) {
        return -1;
    }
    int mid = (low + high) / 2;
    if (A[mid] == item) {
        return mid;
    }
    else if (A[mid] < item) {
        return binarySearch(A, item, mid + 1, high);
    }
    else {
        return binarySearch(A, item, low, mid - 1);
    }
}

解题说明

该算法的时间复杂度是O(log n)。在最坏情况下，它最多需要比较log2(N)次，其中N是数组中元素的数量。

递归调用会在本例中造成一定程度的性能损失，但是代码的优雅性和可读性更高，并且递归调用不需要额外的存储空间。如果空间开销不是问题，那么可以使用递归实现二分查找。在要求空间尽可能小的情况下，我们应该使用迭代算法实现二分查找。

结论

考虑到该算法的时间复杂度较低，这种算法是一种比较好的实践题目。这个算法的实现有两种方式（递归和迭代），不同的实现方式也决定了算法的空间复杂度。