非确定性有限自动机（NFA）

非确定性有限自动机（NFA）是一个计算模型，它被用于将一些输入序列转换为输出序列。在此模型中，它的各个状态之间可以有多个转换，即使对于相同的输入字符，也可以从一个状态转移到多个状态。这种“非确定性”使得NFA比确定性有限自动机（DFA）更具表现力。

NFA的定义

一个NFA可以由以下五个元素定义：

1. 一个有限的状态集合 $Q$；
2. 一个有限的输入字母表 $\Sigma$；
3. 一个转移函数 $\delta: Q\times \Sigma_{\epsilon} \rightarrow 2^Q$，其中 $2^Q$ 表示由 $Q$ 中元素构成的子集，$\epsilon$ 是空串；
4. 一个初始状态 $q_0 \in Q$；
5. 一个终止状态或接受状态集合 $F\subseteq Q$。

其中，$\delta(q, a)$ 是一个状态集合，即当NFA处于状态 $q$ 且读入输入字符 $a$ 时，它可以转移到的所有状态的集合。$\epsilon$ 作为输入字符时表示空串，这使得NFA可以从一个状态转移到多个状态而不读取任何输入字符。

NFA和DFA的区别

与DFA不同的是，NFA在转换状态时可以有多个选择。当NFA看到输入符号时，它可以使用 $\epsilon$ 跳跃来进入另一个状态，而DFA只能沿着一个确定的路径转换。

由于这种“非确定性”，NFA无法直接执行，必须通过NFA的“模拟”来获得其行为。这种模拟通常使用子集构造法实现。

与DFA相比，NFA更加灵活，可以用更少的状态和转换来实现某些特定的语言，但通常需要更多的时间来模拟和执行。

NFA的实现

在实践中，NFA通常不是直接实现的，而是通过转化为DFA来实现。这可以通过子集构造法来实现：

1. 初始状态是 $q_0$；
2. 对于输入字符集中的每个字符，计算 $q_0$ 集合中的相应状态集合（使用 $\epsilon$ 跳跃）并找到所有可以转移到的状态；
3. 创建一个新状态，表示在遇到该字符后可能到达的所有状态；
4. 重复步骤2和3，直到无法创建新状态为止。

此过程可以产生一个等效DFA，但在某些情况下可能会有冗余状态。