门 | GATE-CS-2016（套装2）|问题 18

本题考查的是图的连通性及其性质，在本文中，将详细介绍问题的需求、解决思路和实现方法。

需求

本题的需求如下：

• 实现一个函数 find_groups(n: int, doors: List[Tuple[int, int]]) -> int，其中 n 表示门的数量， doors 为一个列表，其中每个元素表示一扇门与另一扇门的连通性关系。如果两扇门连通，则在 doors 列表中有一个二元组 (u, v)，其中 u 和 v 分别表示这两扇门的编号。
• 函数应该返回能够通过某些门进出的连通门组数（团），即组内所有门都连通。如果一扇门能够直接到达另一扇门，则它们属于同一团。

解决思路

本题要求找到所有的连通门组（团），也即要找到所有的团。一个图中的所有团包含两种基本形式：完全图和非完全图。

完全图

一个门团的完全图是指，团中所有的门两两间都连通。设团中有 $k$ 扇门，则完全图的边数为 $\frac{k(k-1)}{2}$.

对于一扇门来说，如果它与团中的每一扇门都连通，则这个门属于该团的完全图；如果一个门被团中的所有其他门包含，但是它和某些门之间有没有边相连，则这个门不属于该团的完全图。

因此，对于一个团来说，只要判断每扇门是否满足完全图中的条件即可。

非完全图

对于非完全图，我们可以通过深搜实现团的查找。首先需要对给定的连通关系建图，这可以通过邻接矩阵或邻接表来实现。接下来依次对每个门进行深搜，如果深搜能够遍历到所有与该门连通的门，则该门属于该团。

深搜的过程中需要标记门的访问状态，如果门被标记为已访问，则不再搜索与该门相邻的门，这样可以避免重复搜索。

实现方法

下面是本题的实现方法和代码。首先实现完全图的检测函数 is_clique(u: int, graph: List[List[int]]) -> bool:

def is_clique(u: int, graph: List[List[int]]) -> bool:
    for v in range(len(graph)):
        if u != v and graph[u][v] == 0:
            return False
    return True

对于每扇门，枚举所有团的门数，判断该门是否属于这样一个团：

def find_groups(n: int, doors: List[Tuple[int, int]]) -> int:
    graph = [[0] * n for _ in range(n)]
    for u, v in doors:
        graph[u][v] = graph[v][u] = 1
    res = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if graph[i][j]:
                for k in range(j + 1, n):
                    if graph[i][k] and graph[j][k]:
                        for l in range(k + 1, n):
                            if graph[i][l] and graph[j][l] and graph[k][l]:
                                res += 1
    for u in range(n):
        if is_clique(u, graph):
            res += 1
    return res

对于非完全图的情况，则使用深搜来实现：

def dfs(u: int, graph: List[List[int]], visited: List[bool], n: int):
    visited[u] = True
    for v in range(n):
        if graph[u][v] and not visited[v]:
            dfs(v, graph, visited, n)


def find_groups(n: int, doors: List[Tuple[int, int]]) -> int:
    graph = [[0] * n for _ in range(n)]
    for u, v in doors:
        graph[u][v] = graph[v][u] = 1

    res = 0
    visited = [False] * n
    for u in range(n):
        if not visited[u]:
            dfs(u, graph, visited, n)
            res += 1

    return res

以上就是本题的解题思路和实现方法。