门 | 门CS 2012 | 问题 33

本题是一个有趣的游戏问题，题目描述如下：

在一条直线上有 $n$ 个门，每个门有一个开关，而你只有一个钥匙可以打开其中的一个门。每个门打开后都可以进入另一个未被打开的门，也可以不进入而选择另一个未被打开的门。问最多可以打开几扇门？

本题有多种解法，这里我们介绍两种。

解法一

如果我们要尽可能多地打开门，显然我们应该尽量多地进入新的门内，而不是走回已经经过的门。因此，我们可以将题目转化为求一条最长的不包含重复元素的序列。

因此，我们可以使用双指针来做这个问题：用 $l$ 和 $r$ 来表示区间的左右端点，$s$ 来表示这个区间中的数字是否被使用过。具体来说，我们可以维护一个集合 $S$，表示当前区间中已经出现的数字。然后不断将右端点 $r$ 向右移动，直到 $r$ 所在位置的数字已经在 $S$ 中出现过。此时，我们就找到了一个合法的区间 $[l,r]$，可以更新答案。在更新完答案之后，将左端点 $l$ 向右移动一位，同时将 $S$ 中对应的元素删除。不断重复这个过程，直到右端点 $r$ 到达数组的右边界。

复杂度分析：由于我们只进行了一次扫描，因此时间复杂度为 $O(n)$。空间复杂度为 $O(n)$，用于存储 $S$ 中的元素。

代码实现

def solve(m: int, a: List[int]) -> int:
    n = len(a)
    s = set()
    l, r = 0, 0
    res = 0
    while r < n:
        while a[r] in s:
            s.remove(a[l])
            l += 1
        s.add(a[r])
        res = max(res, len(s))
        r += 1
    return res

解法二

另一种解法是使用动态规划。令 $f[i]$ 表示以第 $i$ 个门为结尾的最长路径长度，显然我们有：

$$ f[i] = \max{f[j]} + 1, j \in {0, \ldots, i-1}, a_j \neq a_i $$

其中 $a_i$ 表示第 $i$ 个门对应的编号。由于我们只需要找到最长路径，而路径的起点可以是任意的门，因此最终答案应该是 $\max{f[i]}$。

复杂度分析：由于我们需要计算一次 $f[i]$，所以时间复杂度为 $O(n^2)$。空间复杂度为 $O(n)$。

代码实现

def solve(m: int, a: List[int]) -> int:
    n = len(a)
    f = [1] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if a[j] != a[i]:
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1)
    return max(f)

以上是该问题的两种解法，两种方法时间复杂度分别为 $O(n)$ 和 $O(n^2)$，可以根据具体情况选择使用。