国际空间研究组织 | ISRO CS 2017 – 5 月 |问题 53

这是一道计算机科学竞赛的题目，涉及到数学和编程知识。

题目描述

给定一个矩形区域，它由1或0组成。求出矩形中的最大的由1组成的正方形的面积。

例如，对于下面的矩形：

1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0

其中的最大正方形是：

1 1 1
1 1 1
1 1 1

其面积为9。

解决方案

一种解决方案是使用动态规划。定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示以(i, j)为右下角的最大正方形的边长。初始化dp数组的第一行和第一列为矩形的本身。

然后遍历整个矩形，对于每个位置(i, j)，如果matrix[i][j]为1，则计算dp[i][j]的值。根据正方形的定义可知，dp[i][j]最多为dp[i-1][j-1]、dp[i-1][j]和dp[i][j-1]的最小值加1。因为如果matrix[i][j]为1，那么构成正方形的边长至少要为1，所以必须满足周围三个位置，即左边、上边和左上角都至少有一个1。

最后，遍历dp数组，找到最大的正方形的边长，即可求出面积。

代码示例

def maximal_square(matrix):
    if not matrix:
        return 0
    
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    
    # 初始化第一行和第一列
    for i in range(m):
        dp[i][0] = matrix[i][0]
    for j in range(n):
        dp[0][j] = matrix[0][j]
    
    # 计算dp数组
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            if matrix[i][j] == 1:
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1
    
    # 找到最大正方形的边长
    max_len = 0
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if dp[i][j] > max_len:
                max_len = dp[i][j]
    
    # 计算面积
    return max_len * max_len

代码中的主要函数为maximal_square，它接受一个矩阵作为输入，返回最大正方形的面积。函数中的dp数组用于存储最大正方形的边长。最后的计算是将最大边长平方得到面积。