矩阵中的本征空间和本征谱值

介绍

在线性代数中, 本征值和本征向量是一种与矩阵 A 相关的特殊量, 它可以用于许多应用领域, 如机器学习、信号处理、物理学等, 广泛应用于数据分析、计算机视觉和人工智能等领域。本文将重点介绍矩阵的本征值和本征向量以及它们之间的关系。

本征空间与本征向量

本征空间（或特征空间）是指与矩阵 A 相关的一个向量空间, 它包含该矩阵所有的本征向量。一个本征向量是指，在矩阵 A 做一个变换后（即矩阵乘法运算），与该向量位于同一条直线上的向量。其中的倍数称作本征向量的本征值。

如果我们用向量空间中的基来表示本征空间，则可以通过特殊的矩阵操作得到矩阵的本征值与本征向量。

假设给出一个矩阵 A:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 3 \end{pmatrix} $$

则可以求出该矩阵的本征值和本征向量。

首先我们先看本征向量的求法:

对于矩阵 A，如果存在非零向量 x，使得：

$$ A x= \lambda x$$

则 x 就是 A 的一个本征向量, $\lambda$为对应的本征值.

如果对矩阵 A 进行如下操作，得到矩阵 (A-λI)，其中 I 是单位矩阵。

$$(A - \lambda I)x = 0$$

因为 x 不是零向量，所以行列式 |A - λI| 必须为 0。由此，我们可以得到矩阵 A 的本征值。具体地:

$$|A- \lambda I| = 0$$

$$ \begin{vmatrix} 2-\lambda & 0\ 0 & 3 - \lambda \end{vmatrix}=0$$

解得本征值：

$$\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3$$

接下来，我们来看如何求解本征向量。在上面我们得到了 A 的两个本征值，现在根据分别计算每个本征值对应的本征向量：

对于本征值 $\lambda_1 =2$, 我们需要解以下方程：

$$\begin{pmatrix}2-\lambda_1 & 0 \ 0 & 3-\lambda_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \ 0 \end{pmatrix}$$

即

$$\begin{pmatrix}0 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \ 0 \end{pmatrix}$$

因此，我们可以得到一个本征向量 $x_1$ 为:

$$\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}$$

对于本征值 $\lambda_2 =3$, 同样可以得到本征向量 $x_2$:

$$\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$$

因此，将本征向量 $x_1$ 和 $x_2$ 组合起来，就得到了矩阵 A 的本征向量构成的向量空间, 就是本征空间。

总结

本文介绍了矩阵的本征值、本征向量以及它们之间的关系。通过求解矩阵的本征值与本征向量，我们可以找到一些特殊的信息，例如我们可以通过本征值计算矩阵的行列式、迹和逆等。本征向量和本征空间也被广泛应用于机器学习和数据科学的诸多领域。

参考资料

1. 矩阵的本征值与本征向量
2. 矩阵的本征值与本征向量的求解方法