设计确定性有限自动机（第 7 组）

什么是有限自动机？

有限自动机 (Finite Automata) 是一种计算模型，它有一个有限个状态的控制器和一个处理输入字符序列的状态转移函数。有限自动机接受一个输入字符序列，如果存在一种状态转移序列使得在控制器经过每一步状态转移后，最终输出一个"接受"状态，否则被称为"拒绝"状态。

什么是确定性有限自动机？

确定性有限自动机 (Deterministic Finite Automata，DFA) 是一种特殊的有限自动机。它与一般的有限自动机（不确定有限自动机）相比，确定性有限自动机要求在同一状态下、相同的输入情况下只有唯一的一个状态转移动作，即每个状态只能对应唯一一个字符的转移，否则便不是确定性有限自动机。

如何设计确定性有限自动机？

设计有限自动机的关键在于确定状态集、输入字母表、状态转移函数和起始状态及终止状态。以下是一个简单的例子。

# 确定性有限自动机设计示例
# DFA: string 包含 "ab"子串

class DFA:
    def __init__(self):
        # 定义 DFA 的状态集、输入字母表、状态转移函数、起始状态和终止状态
        self.states = {0, 1, 2}
        self.alphabet = {'a', 'b'}
        self.transition = {
            (0, 'a'): 1,
            (0, 'b'): 0,
            (1, 'a'): 1,
            (1, 'b'): 2,
            (2, 'a'): 1,
            (2, 'b'): 0,
        }
        self.start_state = 0
        self.accept_states = {2}

    def accept(self, s):
        # DFA 的状态转移操作
        state = self.start_state
        for c in s:
            state = self.transition.get((state, c), None)
            if state is None:
                return False
        return state in self.accept_states

# 测试
dfa = DFA()
print(dfa.accept('aba'))  # True
print(dfa.accept('abba')) # True
print(dfa.accept('aaabaaa')) # False
print(dfa.accept('ab')) # True

上述程序中设计了一个 DFA，用于判断输入字符串是否包含 "ab" 子串。其中，状态集为 {0, 1, 2}，输入字母表为 {'a', 'b'}，状态转移函数为一个字典变量 transition，其键是一个二元组（状态, 输入字符），值是下一个状态。程序中还定义了起始状态、接受状态。最终定义一个 accept 方法用于判断输入字符串是否被这个 DFA 接受。

总结

设计和实现有限自动机可以用于解决很多实际问题，正确性和高效性是其重要应用条件。在实际应用中，还需要仔细分析问题，确定输入输出规范，选择合适的算法模型，在满足性能要求的同时，保证程序的正确性和可维护性。