NPDA 接受语言 L = {aibjckdl | i==k 或 j==l, i>=1, j>=1}

介绍

NPDA（non-deterministic pushdown automaton）即非确定性下推自动机，是一个可以在语言理论中使用的抽象计算机模型。它类似于有限状态自动机，但其拥有更强的计算能力。NPDA 可以处理可以被正则表达式描述的字符串，同时也能处理上下文无关文法（context-free grammar）所描述的字符串。在本文中，我们将利用 NPDA 来接受语言 L = {aibjckdl | i==k 或 j==l, i>=1, j>=1}。

这个语言 L 中，字符串的形式为 aibjckdl，其中 i == k 或 j == l，且 i,j 都大于等于 1。例如，aabbbckd 是一个属于 L 的字符串，因为 i=2 且 j=3，因此 i 不等于 k，但 j 等于 l。

NPDA 实现

我们可以使用如下的状态转移函数来实现语言 L 的 NPDA 接受器：

1. 如果弹出栈顶符号并把输入串头部符号压入栈的结果不等于原栈，则退出；
2. 如果输入串头部符号与栈顶符号相同，则弹出栈顶；
3. 如果输入串头部符号与栈顶符号不同，但输入串头部符号既不等于 a 也不等于 c，则退出；
4. 如果输入串头部符号为 a，则把其压入栈中；
5. 如果输入串头部符号为 b 或 d，则把其压入栈中；
6. 如果输入串头部符号为 c，则弹出栈顶符号；
7. 如果输入串头部符号为 k，则退出；
8. 如果输入串头部符号为 l，则退出。

代码实现如下：

def npda_accept(string):
    stack = []
    for char in string:
        # Case 1
        if stack and stack[-1] == 'k' and char != 'c':
            return False
        if stack and stack[-1] == 'l' and char != 'b' and char != 'd':
            return False
        # Case 2
        if stack and stack[-1] == char:
            stack.pop()
        # Case 3
        elif char != 'a' and char != 'c':
            return False
        # Case 4
        elif char == 'a':
            stack.append(char)
        # Case 5
        elif char == 'b' or char == 'd':
            stack.append(char)
        # Case 6
        elif char == 'c':
            if not stack or stack[-1] != 'b':
                return False
            else:
                stack.pop()
        # Case 7
        elif char == 'k':
            if not stack or stack.pop() != 'a':
                return False
        # Case 8
        elif char == 'l':
            if not stack or stack.pop() != 'c':
                return False
    
    return not stack or stack.pop() == 'a'

参考资料

• Sipser, M. (2013). Introduction to the Theory of Computation. Cengage Learning.