国际空间研究组织 | ISRO CS 2011 |问题 71

这是一道计算几何题目，需要计算一个多边形的周长和面积。

问题描述

给定二维平面上的一个 $n$ 边形的 $n$ 个点的坐标，编写一个程序以计算它的周长和面积。需要注意的是，多边形可能不是凸的。

问题分析

对于计算多边形的周长，我们可以通过遍历多边形的各个点来实现。对于相邻的两个点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，它们之间的距离可以使用以下公式进行计算：

$$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$

多边形的周长即为各个边长之和。

对于计算多边形的面积，可以使用 Shoelace Formula 这个公式。该公式的核心思想是将多边形分为两半，分别计算它们的面积，再求和。设多边形的各个顶点坐标为 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$\cdots$、$(x_n,y_n)$，则多边形的面积为：

$$S=\frac12\left|\sum_{i=1}^{n-1}{x_i y_{i+1}} + x_n y_1 - \sum_{i=1}^{n-1}{x_{i+1}y_i} - x_1 y_n\right|$$

代码实现

计算多边形周长

下面是计算多边形周长的代码实现：

import math

def polygon_perimeter(points):
    n = len(points)
    perimeter = 0
    for i in range(n):
        x1, y1 = points[i]
        x2, y2 = points[(i+1)%n]
        perimeter += math.sqrt((x2-x1)**2 + (y2-y1)**2)
    return perimeter

该函数接受一个二维数组 points，数组中的每个元素是一个包含 x 和 y 坐标的二元组。例如：

points = [(0,0), (0,1), (1,1), (1,0)]
perimeter = polygon_perimeter(points)
print(perimeter) # 4.0

计算多边形面积

下面是使用 Shoelace Formula 计算多边形面积的代码实现：

def polygon_area(points):
    n = len(points)
    area = 0
    for i in range(n):
        x1, y1 = points[i]
        x2, y2 = points[(i+1)%n]
        area += x1*y2 - x2*y1
    return abs(area)/2

该函数同样接受一个二维数组 points，数组中的每个元素是一个包含 x 和 y 坐标的二元组。例如：

points = [(0,0), (0,1), (1,1), (1,0)]
area = polygon_area(points)
print(area) # 1.0

总结

本题需要计算多边形的周长和面积。对于周长，可以直接遍历多边形的各个点，计算相邻点之间的距离，然后求和。对于面积，可以使用 Shoelace Formula 这个公式。注意，对于非凸多边形，需要使用更为复杂的算法。