算法测验|须藤放置[1.6] |问题14

本问题需要解决在须藤放置的问题中，恰好有 $k$ 个量子比特被置于状态 $\left|1\right>$，求所有合法的状态的数目。

输入格式

一行三个用空格隔开的整数 $n,k,m$，表示物理量子比特数，目标状态中 $\left|1\right>$ 的数量，及能通过恒等变换 $U$ 得到的酉矩阵数目，数据保证 $n\geq 1, 0\leq k\leq n, 1\leq m\leq 1.5\times 10^5$。

接下来 $m$ 行，每行描述一个酉矩阵 $U$，其中第 $i+1$ 行包含 $n$ 个用空格隔开的实数 $u_{i,j}$，表示 $U$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的值。

输出格式

一行一个整数，表示合法的状态的数目。

输入样例

2 1 2
0.707107 0.707107
0.707107 -0.707107
0.707107 -0.707107
-0.707107 0.707107

输出样例

1

题解思路

题目的意思是有一个 $n$ 维复向量 $x$，我们可以通过给该向量施加若干个 $n$ 维复酉阵 $U$（意味着可以将量子态 $\left|0\right>$ 通过该酉阵变换到任何一个物理状态），来产生若干个复向量中的一个（即量子态 $\left|\psi\right>$）。

而我们只需要计算共有多少种 $n$ 维复向量，使得经过最多 $m$ 个复酉阵施加，可以得到一个 $\left|1\right>$ 的数量恰好为 $k$ 的量子态。

显然，对于任何一个 $n$ 维复向量，它可以表示为：

$$ \mathbf{x}=\sum_{i=1}^{2^n} a_i \left|\psi_i\right> $$

其中，$\left|\psi_i\right>$ 是某个矩阵 $U$ 根据线性叠加得到的某个物理状态，$a_i$ 是某个常数。

这个值可以使用矩阵乘法来计算：

$$ \mathbf{x}=U_N\cdots U_1 \left|\psi\right> $$

为了满足条件，我们需要矩阵 $U$ 作用 $m$ 次后得到的结果，使得 $\left|1\right>$ 的个数为 $k$。设 $\mathbf{x'}=U^m\mathbf{x}$，则如果 $U$ 的元素已知，可以通过矩阵乘法对 $\mathbf{x'}$ 进行计算。具体来说，如果 $U$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵，则矩阵 $\mathbf{x'}$ 可以计算为：

$$ \begin{aligned} \mathbf{x'}&=U^m\mathbf{x}\ &=U\times U\times \cdots\times U\mathbf{x}\ &=U\left(U \cdots U\mathbf{x}\right)\ &=U\mathbf{x''} \end{aligned} $$

其中，$\mathbf{x''}=U^{m-1}\mathbf{x}$。

因此，我们可以通过只进行一次矩阵乘法来判断一次操作后向量中 $\left|1\right>$ 的个数是否为 $k$。若是，记录这个向量。

另外，我们可以通过枚举矩阵中非零元素的位置，计算将该位置上的值翻转所对应的变换，进而实现将向量 $\mathbf{x}$ 的某个位置上的值取反的操作。

最终的做法即为暴力枚举所有可能的非零元素位置，再针对每个位置上的值的取反进行判断就可以了。

时间复杂度为 $O(n^4m)$。

代码实现

def solve(n: int, k: int, m: int, matrix: List[List[complex]]) -> int:
    vec = [1] + [0] * (n - 1)
    ans = set()
    for i in range(m):
        vec2 = [sum(matrix[j][k] * vec[k] for k in range(n)) for j in range(n)]
        cnt = 0
        for j in range(n):
            if abs(vec2[j]) * abs(vec[j]) < 1e-12:
                cnt += 1
        if cnt == k:
            ans.add(tuple(int(abs(vec[j]) > 1e-12) for j in range(n)))
        vec = vec2
    res = 0
    for s in ans:
        f = True
        for i in range(n):
            if not s[i]:
                continue
            for j in range(m):
                mat = matrix[j]
                for k in range(n):
                    mat[k] = mat[k][::1] if k == i else mat[k]
                vec2 = [sum(mat[j][k] * vec[k] for k in range(n)) for j in range(n)]
                cnt = 0
                for jj in range(n):
                    if abs(vec2[jj]) * abs(vec[jj]) < 1e-12:
                        cnt += 1
                if cnt == k:
                    vec = vec2
                    f = False
                    break
            if not f:
                break
        res += f
    return res