算法测验|须藤放置[1.5] |问题5

程序介绍

本题是须藤放置题目的第五道问题，主要目的是使用算法求解。须藤放置是一个日本数学家须藤敬之提出的一系列促进数学思维的问题，具有一定的挑战性。

在本题中，我们需要编写一个算法，对给定的两个正整数a，b，求出它们的最大公因数（Greatest Common Divisor，GCD）。最大公因数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。

算法思路

本题的解法主要依赖于欧几里得算法，也称辗转相除法。其基本思想是：

1. 求出a除以b的余数r
2. 将b赋值给a
3. 将r赋值给b
4. 重复步骤1~3，直到r等于0为止
5. 返回此时的b，即为a和b的最大公因数

通过以上步骤，我们可以得到一个相对简单高效的解法。

代码实现

下面是该算法的Python实现：

def gcd(a, b):
    if a < b:  # 保证a>=b
        a, b = b, a
    while b != 0:
        r = a % b
        a = b
        b = r
    return a

原理证明

欧几里得算法的正确性在这里不做详细证明，感兴趣的读者可以自行搜索相关资料。简要而言，欧几里得算法是基于以下两个事实的：

1. 如果d是a和b的公因数，则d也是b和r的公因数，其中r是a除以b的余数
2. 如果d是b和r的公因数，则d也是a和b的公因数

通过以上两个事实，我们可以得到以下结论：欧几里得算法所求出的最大公因数d既是a和b的公因数，也是b和r的公因数，因此d也是a和r的公因数。因此，利用欧几里得算法不断寻找a和b的公因数，最终可得到a和b的最大公因数。