算法测验 | 须藤放置[1.5] | 问题14

问题描述

有一个长度为n（n<=1000）的整数数组，现在定义数组中的一个数 a[i] 为「分界点」，当且仅当A[i]是这个数组中第i大的数，且在A[i]前面的数都比A[i]小，在A[i]后面的数都比A[i]大。

现在请你用O(n)的时间复杂度计算数组中有多少个「分界点」。

解题思路

我们可以先通过一次遍历将数组中的最大数和最小数找出来，以及该数列中每个元素出现次数的数组 c[]，然后再进行双指针操作，往中间移动时维护两个变量 $leftcnt$ 和 $rightcnt$，其中 $leftcnt$ 代表左边小于当前双指针指向的数字的数的个数，$rightcnt$ 代表右边大于当前双指针指向的数字的数的个数。

同时，我们记录当前双指针指向的数字 $mid$ 是否为当前子数组的「分界点」，具体判断条件如下：

• 每次移动双指针时，先分别计算 $leftcnt$ 和 $rightcnt$，若 $leftcnt = rightcnt$，则代表 $mid$ 是当前子数组的「分界点」；
• 若 $mid$ 左边任意一个元素比 $mid$ 大，则 $mid$ 不可能是当前子数组的「分界点」，跳出循环；
• 若 $mid$ 右边任意一个元素比 $mid$ 小，则 $mid$ 不可能是当前子数组的「分界点」，跳出循环。

这样，我们就可以在 O(n) 的时间复杂度内求出数组中所有「分界点」的个数。

代码实现

def solve(n, a):
    # 找出最大值和最小值
    minn = min(a)
    maxn = max(a)

    # 构建数列元素出现次数的数组 c[]
    c = [0] * (maxn - minn + 1)
    for x in a:
        c[x - minn] += 1

    ans = 0
    leftcnt = 0
    rightcnt = sum([1 for x in c if x > 0])

    for i in range(n):
        # 计算 leftcnt 和 rightcnt
        leftcnt += sum([1 for x in c[minn - minn: a[i] - minn] if x > 0])
        rightcnt -= sum([1 for x in c[a[i] - minn: maxn - minn + 1] if x > 0])

        # 判断当前双指针指向的数字是否为「分界点」
        if leftcnt == rightcnt and all([a[x] < a[i] for x in range(i)]) and all([a[x] > a[i] for x in range(i + 1, n)]):
            ans += 1

        # 若当前双指针指向的数字不是「分界点」，则跳出循环
        if any([a[x] > a[i] for x in range(i)]) or any([a[x] < a[i] for x in range(i + 1, n)]):
            break

    return ans

总结

本题目的解题思路算是蛮巧妙的，需要我们运用数组元素出现次数统计、双指针操作等技巧，最终才能在 O(n) 的时间复杂度内求出结果。

其中，我们需要注意的是双指针操作时的细节问题，如 $leftcnt$ 和 $rightcnt$ 的计算方法、$mid$ 是否为当前子数组的「分界点」的判断条件等；同时，还需要额外注意一些极限情况，如 $mid$ 位于数列的两端、数列中所有元素都相等等情况，这些情况在引入双指针时需要额外考虑。