门|门 CS 1997 |问题 37

该问题属于计算机科学中的递归问题，涉及到递归算法的基础知识。

问题描述

在第一间门之前有 $n$ 个人，每个人都有一把钥匙。第 $i$ 个人的钥匙可以开启第 $i$ 个门及其倍数编号的门（例如第 2 个人的钥匙可以开启第 2、4、6、8...等偶数编号的门）。最终，在第 $n$ 间门处有一个箱子需要被打开，问应该派哪些人去打开箱子。

解题思路

首先，我们需要找到所有可以打开第 $n$ 间门的人，然后再找到可以打开这些人所在的门的人，依次递归下去。实际上，这就是一个递归算法。

我们可以定义一个函数 findKeys(n, keys)，其中 n 表示当前所在的门的编号， keys 是一个列表，表示哪些人的钥匙可以开启当前门，findKeys 函数将返回一个列表，表示可以打开当前门的人的编号。

伪代码

def findKeys(n, keys):
    if n == 1:
        return [1]
    else:
        res = []
        for i in range(len(keys)):
            if n % (i+1) == 0:
                res.append(i+1)
        return res + findKeys(n-1, res)

代码解释

首先判断当前门的编号是否为 1，如果是则返回 1。否则，遍历所有可以开启当前门的人的钥匙，取出这些人的编号，并递归调用 findKeys 函数获取可以开启这些人所在的门的人的编号。最后返回所有可以打开当前门的人的编号。

示例

我们以问题中提供的示例为例：

当 $n=5$ 时，第一个人可以打开编号为 1、2、4、5 的门，第二个人可以打开编号为 2、4 的门。因此，第三个人应该被派去打开箱子。

通过调用 findKeys(5, [1,2,])，可以得到可以打开第 5 个门的人的编号为 [3]，即第三个人。

总结

递归算法是一种非常强大的算法，能够解决许多复杂的问题。在实践中，我们需要根据问题的特点选择适当的解题思路，大多数情况下都可以通过递归算法解决。