门| GATE-CS-2005 |问题30

这道题目是GATE-CS-2005考试中的一道选择题，主要考察了编程能力和算法分析。

题目描述

有两个已排序的数组S1和S2。设计一个算法，找到两个数组的中位数。数组的大小为n，且满足2n+1。

解题思路

首先我们来简化一下问题。如果我们能够找到两个数组中第k小的元素，那么中位数就可以轻松得到：

• 如果数组大小为奇数，中位数为第(n+1)/2小的元素；
• 如果数组大小为偶数，中位数为第n/2小的元素和第n/2+1小的元素的平均值。

那么如何找到第k小的元素呢？假设S1和S2的大小为m和n，且m<=n。我们通过比较S1和S2的第k/2个元素，来将问题规模缩小。具体如下：

• 如果S1[k/2] < S2[k/2]，那么S1[1]到S1[k/2]一定比S1和S2的其他元素都小。因为S1是已排序的，所以这些元素肯定是S1的前k/2小的元素。那么可以将这些元素和S2的前k/2个元素一起排除，然后在剩下的元素中找到第k-k/2小的元素；
• 同理，如果S1[k/2] > S2[k/2]，直接将S2[1]到S2[k/2]一起排除就好了；
• 如果S1[k/2] = S2[k/2]，那么这个元素一定是第k小的元素。

这个算法的关键在于如何处理k/2，以及如何排除元素。具体实现起来比较麻烦，但是时间复杂度是O(log n)的。

代码实现

下面是Python实现的代码片段:

def median(s1, s2):
    m = len(s1)
    n = len(s2)
    if m > n:
        return median(s2, s1)
    k = (m + n - 1) // 2
    l, r = 0, min(m, k)
    while l < r:
        mid1 = (l + r) // 2
        mid2 = k - mid1
        if s1[mid1] < s2[mid2]:
            l = mid1 + 1
        else:
            r = mid1
    mid1 = l
    mid2 = k - l
    c1 = max(s1[mid1 - 1] if mid1 > 0 else float('-inf'), s2[mid2 - 1] if mid2 > 0 else float('-inf'))
    if (m + n) % 2 == 1:
        return c1
    c2 = min(s1[mid1] if mid1 < m else float('inf'), s2[mid2] if mid2 < n else float('inf'))
    return (c1 + c2) / 2

代码中的注释和上面的解题思路是一一对应的，所以不再进行过多描述。

总结

这道题目实际上并不是很难，但是对于初学者来说，还是有一定难度的。我们需要对数组的性质有一定的了解，也需要熟练掌握二分法和排序算法。这些知识点都是非常基础的，掌握了这些知识点，再加上一些实战经验，相信就可以轻松通过这道题目了。