旅行商问题 |设置 1（朴素和动态规划）

旅行商问题(TSP)：给定一组城市和每对城市之间的距离，问题是找到最短的路线，该路线恰好访问每个城市一次并返回起点。
注意哈密顿循环和 TSP 之间的区别。 Hamiltoninan 循环问题是寻找是否存在一次访问每个城市恰好一次的旅行。这里我们知道哈密顿环存在(因为图是完整的)并且实际上存在许多这样的环，问题是找到一个最小权重的哈密顿环。

例如，考虑右侧图中所示的图形。图中的 TSP 游览是 1-2-4-3-1。游览费用为10+25+30+15，即80。

该问题是著名的 NP 难题。这个问题没有多项式时间已知解。

以下是旅行商问题的不同解决方案。

天真的解决方案：
1)以城市1为起点和终点。
2)生成所有(n-1)！城市的排列。
3)计算每个排列的成本并跟踪最小成本排列。
4) 以最小代价返回排列。

时间复杂度：Θ(n!)

动态规划：
让给定的顶点集为 {1, 2, 3, 4,….n}。让我们将 1 视为输出的起点和终点。对于每个其他顶点 i(除了 1)，我们找到最小成本路径，以 1 为起点，i 为终点，所有顶点恰好出现一次。令这条路径的成本为cost(i)，对应的Cycle 的成本为cost(i) + dist(i, 1) 其中dist(i, 1) 是从i 到1 的距离。最后，我们返回所有 [cost(i) + dist(i, 1)] 值的最小值。到目前为止，这看起来很简单。现在的问题是如何获得成本(i)?
为了使用动态规划计算成本(i)，我们需要在子问题方面有一些递归关系。让我们定义一个术语C(S, i) 是访问集合 S 中每个顶点一次的最小成本路径的成本，从 1 开始到 i 结束。
我们从大小为 2 的所有子集开始，并为所有子集计算 C(S, i)，其中 S 是子集，然后我们为所有大小为 3 的子集 S 计算 C(S, i)，依此类推。请注意，每个子集中都必须存在 1。

If size of S is 2, then S must be {1, i},
 C(S, i) = dist(1, i) 
Else if size of S is greater than 2.
 C(S, i) = min { C(S-{i}, j) + dis(j, i)} where j belongs to S, j != i and j != 1.

对于一组大小为 n 的集合，我们考虑每个大小为 n-1 的 n-2 个子集，这样所有子集中都没有第 n 个。
使用上述递推关系，我们可以编写基于动态规划的解决方案。最多有 O(n*2 ⁿ ) 个子问题，每个子问题都需要线性时间来解决。因此，总运行时间为 O(n ² *2 ⁿ )。时间复杂度远小于 O(n!)，但仍然是指数级的。所需的空间也是指数级的。因此，即使顶点数量稍多，这种方法也是不可行的。

我们很快就会讨论旅行商问题的近似算法。

下一篇：旅行商问题 | 2套

参考：
http://www.lsi.upc.edu/~mjserna/docencia/algofib/P07/dynprog.pdf
http://www.cs.berkeley.edu/~vazirani/algorithms/chap6.pdf

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