中心极限定理公式

用外行的话来说，统计学是一种以可理解的方式捕捉、分类、分析、理解并最终传达事实的技术，以便人们可以做出判断，并在需要时进行干预。例子：

• 老师收集学生的成绩，按升序或降序排列，测量平均班级成绩，或计算有多少学生不及格并通知他们，以便他们可以更专注于学习。
• 官员们正在编制人口普查数据并将其与过去的记录进行比较，以控制人口增长。

中心极限定理

The Central Limit Theorem states that as the sample size grows higher, the sample size of the sampling values approaches a normal distribution, regardless of the form of the data distribution. The mean of sample means will be the population mean, according to the Central Limit Theorem.

同样，如果您对样本中的所有分离度进行平均，您将获得总体的真实标准差。

• 样本均值等于总体均值。
• 样本标准差等于总体标准差除以样本量的平方根。

该定理通常用于分布大小相当大的情况，最好大于 30。

$\mu _{\overline{x}}=\mu$ 

and 

$\sigma _{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

其中 μ = 总体的平均值，σ = 总体的标准差，n = 给定样本的大小。

示例问题

问题 1. 男性群体的体重数据服从正态分布。它的平均值为 70 公斤，标准差为 15 公斤。如果研究人员查看他们的记录，那么 50 个人样本的平均值和标准差是多少？

解决方案：

Given: μ = 70 kg, σ = 15 kg, n = 50

As per the Central Limit Theorem, the sample mean is equal to the the population mean.

Hence, $\mu _{\overline{x}}$ = μ = 70 kg

Now, $\sigma _{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ = 15/√50

⇒ $\sigma _{\overline{x}}$ ≈ 2.1 kg

问题 2。分布的平均值为 69，标准差为 420。如果从分布中抽取 80 个样本，求平均值和标准差。

解决方案：

Given: μ = 69, σ = 420, n = 80

As per the Central Limit Theorem, the sample mean is equal to the the population mean.

Hence, $\mu _{\overline{x}}$ = μ = 69 

Now, $\sigma _{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

= 420/√80

⇒ $\sigma _{\overline{x}}$ = 46.95 

问题 3. 一个群体中人们的平均年龄是 34 岁。假设标准差为 15 年。样本大小为 50。求样本的均值和标准差。

解决方案：

Given: μ = 34, σ = 15, n = 50

As per the Central Limit Theorem, the sample mean is equal to the the population mean.

Hence, $\mu _{\overline{x}}$ = μ = 34 years

Now, $\sigma _{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

= 15/√50

⇒ $\sigma _{\overline{x}}$ = 2.12 years

问题 4. 吸烟者的平均年龄是 35 岁。假设标准差是 10 年。样本大小为 39。求样本的均值和标准差。

解决方案：

Given: μ = 35, σ = 10, n = 39

As per the Central Limit Theorem, the sample mean is equal to the the population mean.

Hence, $\mu _{\overline{x}}$ = μ = 35 years

Now, $\sigma _{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ = 10/√39

⇒ $\sigma _{\overline{x}}$ = 1.601 years

问题 5. 阅读一份报纸的平均时间是 8.2 分钟。假设标准偏差是一分钟。取一个大小为 70 的样本。求其均值和标准差。

解决方案：

Given: μ = 8.2, σ = 1, n = 70

As per the Central Limit Theorem, the sample mean is equal to the the population mean.

Hence, $\mu _{\overline{x}}$ = μ = 8.2 minutes

Now, $\sigma _{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ = 1/√70

⇒ $\sigma _{\overline{x}}$ = 0.11 minutes

问题 6。一个分布的平均值为 12，标准差为 3。如果从分布中抽取 36 个样本，求平均值和标准差。

解决方案：

Given: μ = 12, σ = 3, n = 36

As per the Central Limit Theorem, the sample mean is equal to the the population mean.

Hence, $\mu _{\overline{x}}$ = μ = 12

Now, $\sigma _{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ = 3/√36

⇒ $\sigma _{\overline{x}}$ = 0.5

问题 7。一个分布的平均值为 4，标准差为 5。如果从分布中抽取 25 个样本，求平均值和标准差。

解决方案：

Given: μ = 4, σ = 5, n = 25

As per the Central Limit Theorem, the sample mean is equal to the the population mean.

Hence, $\mu _{\overline{x}}$ = μ = 4

Now, $\sigma _{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ = 5/√25

⇒ $\sigma _{\overline{x}}$ = 1