虚数

在较低的班级中，我们被告知不能取负数的平方根。但是，我们可以取负数的平方根，但这涉及使用称为虚数的新数。因此，我们假设存在一些数字i ：i ² = -1。此i被称为虚部。我们可以观察到，我们已经创建了一个全新的数字系统(复数)，其中i ² = -1的平方根，而i被称为虚数单位。现在，复数由实数和纯虚数组成。我们已经熟悉例如2、4.03和π的实数，因此让我们谈谈纯虚数。

纯虚数

一个纯虚数是i的倍数。因此，-5 i +，27 * i都是纯虚数。它们也称为非实数。因此，虚数是可以写为实数乘以虚数单位i的数。因此，复数的形式为a + b i ，其中a，b为实常数。复数a + b i可以分为两部分，即

• 实部(一)
• 假想部分(b)[不是b * i ]

虚构单位的权力(i)

我们知道i ² = -1，但是i的其他幂呢?

$1)\ i = \sqrt{-1} \\ 2)\ i^2 = -1 \\ 3)\ i^3 = i^2*i = -1*i =-i \\ 4)\ i^4 = i^3*i = -i*i = -1*i^2 = 1\\ 5)\ i^5 = i^4*i = 1*i = i \\ 6)\ i^6 = i^5*i = i*i = i^2 = -1 \\ 7)\ i^7 = i^6*i = -1*i = -i \\ 8)\ i^8 = i^7*i = -i*i = -1*i^2 = 1\\$

您在这里看到图案了吗?

There is a cycle of i, -1, -i , 1 … where every multiple of 4 is 1.  

To sum it up , lets say that i is raised to the power of n .

If 1) n mod 4 == 0 [division by 4 leaves 0 as remainder] then the ans is 1  . eg : i4 = i8 = i12 = 1

  2) n mod 4 == 1 [division by 4 leaves 1 as remainder] then the ans is i  . eg : i = i5 = i9 = i  

  3) n mod 4 == 2 [division by 4 leaves 2 as remainder] then the ans is -1 . eg : i6 = i10 = -1

  4) n mod 4 == 3 [division by 4 leaves 3 as remainder] then the ans is -i . eg : i3 = i7 = -i

例子：

$1)\ i^{2020} = 1\ (\ as\ 2020\ mod\ 4 == 0\ )\\ Verification :\ i^{2020} = i^{4*505} = {i^4}^{505} = 1^{505} = 1 \\ \ \\ 2)\ i^{105} = i\ (\ as\ 105\ mod\ 4 == 1\ )\\ Verification :\ i^{105} = i^{(4*104)+1} = i*i^{4*104} = i*({i^4}^{104}) = i*(1^{104}) = i \\$

简化负数的根

示例1：假设要求您评估-121的平方根。

$\sqrt{-121} \\ = \sqrt{-1*121} \\ = \sqrt{-1} * \sqrt{121} \\ = i*\sqrt{121} \\ =11*i$

示例2：假设要求您评估-(1/9)的平方根。

$\sqrt{-(1/9)} \\ = \sqrt{-1*(1/9)} \\ = \sqrt{-1} * \sqrt{(1/9)} \\ = i*\sqrt{1/9} \\ =1/3*i$

主平方根

非负实数的主平方根是非负平方根。

例子：

$\sqrt{9} = +3 ,\ \sqrt{25}= +5 \\ \sqrt{9*25}= \sqrt{9}*\sqrt{25} = 3*5 = 15$

A * B的主平方根不能被分解成B的主要*平方根的主平方根如果a和b是负的。

$\sqrt{121} \\ =\sqrt{-1*-121} \\ \neq \sqrt{-1} * \sqrt{-121}$

-1的主平方根：虚部定义为i ² = -1。使用这种表示法，我们可以将i视为-1的平方根，但是我们也有(-i) ² = i ² = -1，因此-i也是-1的平方根。但是按照惯例，-1的主平方根是i，或更一般而言，如果x是任何非负数，则-x的主平方根是：

$\sqrt{-x} = \sqrt{x}*i$