数学 |推理规则 - 芒果文档

先决条件：谓词和量词集 2，命题等价

数学中的每一个定理，或任何与此相关的主题，都有基础证明的支持。这些证明只不过是一组论证，是该理论有效性的决定性证据。
使用推理规则将参数链接在一起以推导出新的陈述并最终证明定理是有效的。

重要定义：

1. 论证——一系列陈述、前提，以结论结尾。
2. 有效性——当且仅当它采用的形式使得前提不可能为真而结论不可能为假时，才称演绎论证是有效的。
3. 谬误——导致无效论点的不正确推理或错误。

参数的结构：
根据定义，论证是一系列称为前提的陈述，以结论结尾。

前提 – $p_{1},\:p_{2},\:p_{3},..., \:p_{n}$ 结论 –

$if(p_{1}\wedge p_{2}\wedge p_{3}\wedge ... \wedge p_{n})\rightarrow q$ 是同义反复，则该参数称为有效，否则称为无效。论证写为——

$\begin{tabular}{l} First\:Premise\\ Second\:Premise\\ Third\:Premise\\ .\\ .\\ Nth\:Premise\\ \hline \therefore Conclusion \end{tabular}$

推理规则：
简单参数可以用作构建块来构造更复杂的有效参数。某些已被确定为有效的简单参数在使用方面非常重要。这些参数称为推理规则。

下表列出了最常用的推理规则——

$\begin{tabular}{||c||c||c||} \hline Rule of Inference & Tautology & Name\\ \hline \rule{0pt}{8ex} \shortstack[l]{p \\ p\rightarrow q \\ \rule{1cm}{0.5pt}\\ \therefore q}& (p\wedge (p\rightarrow q)) \rightarrow q & Modus Ponens \\ \hline \rule{0pt}{8ex} \shortstack[l]{\neg q \\ p\rightarrow q \\ \rule{1cm}{0.5pt}\\ \therefore \neg p}& (\neg q \wedge (p\rightarrow q)) \rightarrow \neg p & Modus Tollens \\ \hline \rule{0pt}{8ex} \shortstack[l]{p\rightarrow q \\ q\rightarrow r \\ \rule{1.3cm}{0.5pt}\\ \therefore p \rightarrow r}& ((p\rightarrow q) \wedge (q\rightarrow r)) \rightarrow (p\rightarrow r) & Hypothetical syllogism \\ \hline \rule{0pt}{8ex} \shortstack[l]{ \neg p \\ p\vee q \\ \rule{0.8cm}{0.5pt}\\ \therefore q} & (\neg p \wedge (p\vee q)) \rightarrow q & Disjunctive Syllogism \\ \hline \rule{0pt}{8ex} \shortstack[l]{p \\ \rule{1.5cm}{0.5pt} \\ \therefore (p \vee q)}& p\rightarrow (p\vee q) & Addition \\ \hline \rule{0pt}{8ex} \shortstack[l]{ (p\wedge q)\rightarrow r \\ \rule{2.3cm}{0.5pt}\\ \therefore p\rightarrow (q\rightarrow r)} & ((p\wedge q)\rightarrow r) \rightarrow (p\rightarrow (q\rightarrow r)) & Exportation\\ \hline \rule{0pt}{8ex} \shortstack[l]{p\vee q\\\neg p\vee r \\ \rule{1.2cm}{0.5pt} \\ \therefore q\vee r}& ((p\vee q) \wedge(\neg p\vee r)) \rightarrow q\vee r & Resolution \\ \hline \end{tabular}$

同样，我们有量化陈述的推理规则——

$\begin{tabular}{||l||l||} \hline Rule of Inference & Name\\ \hline \hline \rule{0pt}{6ex} \shortstack[l]{\forall xP(x) \\ \rule{1cm}{0.5pt}\\ \therefore P(c)} & Universal instantiation \\ \hline \rule{0pt}{6ex} \shortstack[l]{P(c) for an arbitrary c\\ \rule{4cm}{0.5pt}\\ \therefore \forall xP(x)} & Universal generalization \\ \hline \rule{0pt}{6ex} \shortstack[l]{\exists xP(x)\\ \rule{3cm}{0.5pt} \\ \therefore P(c)\:for\:some\:c} & Existential instantiation \\ \hline \rule{0pt}{6ex} \shortstack[l]{P(c) for some c \\ \rule{2.6cm}{0.5pt}\\ \therefore \exists xP(x)} & Existential generalization \\ \hline \end{tabular}$

让我们看看如何使用推理规则从给定的参数中推导出结论或检查给定参数的有效性。

例子：证明假设
“今天下午不是晴天，比昨天更冷”，
“只有晴天我们才会去游泳”，
“如果我们不去游泳，那我们就去划独木舟”，和
“如果我们乘独木舟旅行，那么我们将在日落前回家”
得出结论
“我们将在日落前回家”。
第一步是识别命题并使用命题变量来表示它们。
“今天下午阳光明媚”
“比昨天冷”
“我们去游泳”
“我们将进行一次独木舟之旅”
“我们将在日落前回家”
假设是——
$\neg p \wedge q$ , $r\rightarrow p$ , $\neg r \rightarrow s$ ，和 $s\rightarrow t$ .
结论是——

为了推导出结论，我们必须使用推理规则来构建使用给定假设的证明。
$\begin{tabular}{||l||l||} \hline Step & Reason\\ \hline \hline 1. \neg p \wedge q & Hypothesis\\ 2. \neg p & Simplification\\ 3. r \rightarrow p & Hypothesis\\ 4. \neg r & Modus Tollens using (2) and (3)\\ 5. \neg r \rightarrow s & Hypothesis\\ 6. s & Modus Ponens using (4) and (5)\\ 7. s\rightarrow t & Hypothesis\\ 8. t & Modus Ponens Using (6) and (7)\\ \hline \end{tabular}$

解析原理：
要理解分辨率原则，首先我们需要知道某些定义。

字面量–变量或变量的否定。例如- $p, \neg q$
Sum –字面量的分离。例如- $p\vee \neg q$
产品 –字面量。例如- $p \wedge \neg q$
子句 –字面量的分离，即它是一个总和。
Resolvent –对于任意两个子句 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ , 如果有字面量 $L_{1}$ 在 $C_{1}$ 这是对字面量的补充 $L_{2}$ 在 $C_{2}$ ，然后删除两者并通过析取连接其余子句产生另一个子句 . 被称为解决方案 $C_{1}$ 和 $C_{2}$

例如，

$C_{1} = p\vee q\vee r$ $C_{2} = \neg p\vee \neg s \vee t$

这里， $\neg p$ 和是相辅相成的。删除它们并用析取连接剩余的子句给我们-
$q\vee r \vee \neg s\vee t$
我们可以跳过移除部分并简单地加入子句以获得相同的解决方案。
$\since p \vee \neg p \equiv T\: and,\: T \vee q \equiv q$
这也是称为分辨率的推理规则。

定理——如果是解决方案 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ ，然后也是逻辑结果 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ .

分解原则——给定一个集合的条款，一个(决议)扣除从是有限序列 $C_{1}, C_{2},..., C_{k}$ 的条款，使得每个 $C_{i}$ 是一个子句或前面的条款的解决方案和 $C_{k} = C$ .
我们可以使用解析原则来检查论证的有效性或从中推断出结论。其他推理规则具有相同的目的，但分辨率是唯一的。它是由它自己完成的。您不需要其他推理规则即可从给定的论点推导出结论。

为此，我们首先需要将所有前提转换为从句形式。下一步是逐步将解析推理规则应用于它们，直到无法进一步应用为止。

例如，考虑我们有以下前提——

$p\rightarrow (q\vee r)$ $s\rightarrow \neg r$ $p\wedge s$

第一步是将它们转换为从句形式——

$C_{1}: \:\neg p\vee q\vee r$ $C_{2}: \:\neg s\vee \neg r$ $C_{3}: \:p$ $C_{4}: \:s$ 从决议 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ , $C_{5}:\: \neg p\vee q\vee \neg s$ 从决议 $C_{5}$ 和 $C_{3}$ , $C_{6}:\: q\vee \neg s$ 从决议 $C_{6}$ 和 $C_{4}$ , $C_{7}:\: q$ 因此，结论是 .