行列式的三角形面积| 12年级数学

先前我们已经了解到，行列式是标量值，它是根据具有线性变换某些属性的方阵的不同元素计算得出的。现在让我们学习如何使用行列式找到三角形的面积，假设(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是三角形在笛卡尔平面中的3个点。三角形的面积将给出为

三角形面积公式

$\alpha = \frac{1}{2}\left [ x_{1}(y_{2}-y_{3})+ x_{2}(y_{3}-y_{1}) + x_{3}(y_{1}-y_{2})\right]$

where,

∝ = Area of Triangle

x1, y1, x2, y2, x3, and y3 = Vertices of triangle

定位面积的公式可以用以下种类的决定因素来表示：

$\alpha = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_{1} &y_{1} &1 \\ x_{2} &y_{2} & 1\\ x_{3} &y_{3} &1 \end{vmatrix}$

众所周知，行列式的值可以是负值也可以是正值，但是由于我们在谈论一个区域，因此永远不能将其视为负值，因此我们绝对采用这样获得的行列式值。

如果已经给出了Triangulum的世界，那么我们将同时使用行列式的正值和负值。

同样，如果三个点是共线的，我们可能会留下一条线而不是三角形，并且由于一条线所包围的面积为零，因此行列式的值也将为零。

牢记上述几点，让我们尝试通过使用未成年人和辅因子的行列式扩展技术来扩展表示世界的行列式。

基于三角形面积的问题

问题1：找到顶点为(0，0)，(1、2)和(4，3)的三角形的面积。

解决方案：

Let the point be (x1, y1)  ==>  (0, 0), (x2, y2) ==> (1, 2) and (x3, y3) ==> (4, 3)

$= \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 0 &0 &1 \\ 1 &2 & 1\\ 4 &3 &1 \end{vmatrix}$

= (1/2)[3 – 8]

= (1/2)[-5]

= -5/2

= -2.5

Area cannot be represented with negative. Hence, area of the triangle with given vertices is 2.5 square units.

问题2：如果(k，2)，(2，4)和(3，2)是面积为4个正方形单位的三角形的顶点，则确定k的值。

解决方案：

Area of triangle  = 4 square units 

$= \frac{1}{2}\begin{vmatrix} k &2 &1 \\ 2 &4 & 1\\ 3 &2 &1 \end{vmatrix}$

(1/2){k [4 – 2] – 2[2 – 3] + 1[4 – 12]} = 4

k(2) – 2(-1) + 1(-8) = 8

2k + 2 – 8 = 8

2k – 6 = 8

2k = 8 + 6

2k = 14

k = 7

So, the value of k is 7.

问题3：三角形的顶点是(-2，-3)，(3、2)和(-1，-8)。找出三角形的面积??

解决方案：

$= \frac{1}{2}\begin{vmatrix} -2 &-3 &1 \\ 3 &2 & 1\\ -1 &-8 &1 \end{vmatrix}$

= (1/2) [ -2(2 + 8) + 3(3+1) + 1(-24 + 2) ]

= (1/2) [-2 (10) + 3(4) + 1(-22)]

= (1/2) [ -20 + 12 – 22]

= (1/2) [ -42 + 12]

= (1/2) (-30)

= -15

So, the required area is 15 square units.