代数表达式的除法

代数表达式可以写为其因子的乘积。考虑一个表达式7yz + 3y。我们看到7yz可以写成7×y×z。因子7，y和z不能进一步表示为因子的乘积。因此，我们可以得出结论，7×y×z是7yz的不可约形式。

将代数表达式表达为其因素的产物称为因式分解。因子可以数字，变量或代数表达式的形式表示。

分解技术

让我们了解分解的四种方式

共同因素技术

在这种方法中，每个术语都写为不可约因子的乘积。然后使用分布定律确定并表达共同因素。

示例：分解18y ² z +21 yz ²

解决方案：

18y²z = 2 × 3 × 3 × y × y × z

21yz² = 3 ×7 × y × z × z

Common factors : 3, y, z

So, 

18y²z +21 zy² = (2 × 3 × 3 × y × y × z) + (3 ×7 × y × z × z)

                       = 3 × y × z (6 × y + 7 × z)

                       = 3 y z(6y + 7z)

术语重组技术

很多时候，表达式的所有术语都没有共同的因素。在这种情况下，将这些术语重新组合，直到这些因素达到不可约的状态为止。

示例：分解1600万– 12m + 12n – 9

解决方案：

It is clear that in this expression, there are no common factors among all the terms. We need to regroup the terms.

16mn-12m = 4m(4n-3)

12n-9 = 3 (4n-3)

So, 16mn – 12m +12n -9 = 4m(4n-3)+3 (4n-3)

              We can take 4n-3 common between these terms

                        = (4n-3) (4m+3)

使用身份的技巧

我们可以利用身份进行因式分解。

(a + b) ² = a ² + 2ab + b ² ——–(I)

(ab) ² = a ² + b ² – 2ab ———-(II)

(a + b)(a- b)= a ² -b ² ———–(III)

示例1：因式分解25 x ² – 49

解决方案：

25 x² – 49 = (5x)² – (7)²

Using (III), we can rewrite it as

 = (5x+7)(5x-7)

例子2.分解m ² + 36 + 12m

解决方案：

m² + 36 + 12m 

= m² + 2(6)(m)+6²

Using (I) it can be written as

= (m+6)² 

将形式(x + a)(x + b)用作x ² +(a + b)x + ab的技术

我们知道x ² +(a + b)x + ab =(x + a)(x + b)

示例：分解m ² + 3m + 2

Here, we need to find the factors such that their sum is 3 while their product is 2.

These are 2,1

So, m²+ 3m + 2 = m² + 2m + m +2

                       = m(m+2) + 1(m+2)

                       = (m+1)(m+2)

代数表达式的除法

除法是乘法的逆运算。在讨论除法之前，让我们概括一些与多项式相关的项。根据表达式中的项数，我们确定它是单项式，二项式还是多项式。

单项式包含一个项，而二项式包含两个项。一般而言，多项式包含一个或多个具有非零系数的项。

单项式的示例： 4xy，89z，56pqr，-9

二项式的示例： 34x + 45y，9xz + 5xy

多项式示例： w + x + y + z，3r + 5t-8z-7p

让我们考虑以下情况进行划分：

由单项式除以单项式

这是最简单的情况，即被除数和除数都是单项式。将这些因素分解，并消除公共因素。

范例1：将24y ³除以8y

解决方案：

24y³ can be written as 2* 2 * 2 * 3* y * y * y 

8y can be written as 2*2*2*y.

So, we need to evaluate (2* 2 * 2 * 3* y * y * y)/(2*2*2*y)

Cancelling the common factors,  

We obtain the result as 3 y² .

Check: 3y² x 8y =24y³

例子2.用20mnz除以4 m

解决方案：

Dividend = 4 * 5 * m * n * z

Divisor = 4 * m

Dividing we get, (4* 5* m*n*z)/(4 *m)= 5 n z

Check: 4m* 5nz = 20 mnz

多项式除以一项式

范例1：将32(m ² np + mn ² p + mnp ² )除以4mnp

解决方案：

Dividend= 32(m²np+ mn²p+mnp²) = 4 * 8 *m n p (m +n+ p)

Divisor= 4mnp

On dividing, (4 * 8 *m n p (m +n+ p)/(4mnp)

= 8(m+ n +p)

范例2：将36pqr + 12r除以4r

解决方案：

Dividend =36pqr+ 12r =12 r(3pq+1)

Divisor= 4r

So, (36pqr+ 12r ) / 4r can be written as

= 12 r (3pq+1) /4r 

= 4r *3 *(3pq+1)/4r

Canceling the common terms,

We get, 3(3pq+1)

多项式除以多项式

有时，除数和除数之间存在一些共同的因素。这里的策略也是取消公因数以获得商。

范例1：(12m ² + 24m)/(m + 2)

12m²+24 m can be written as 12m(m+2)

So, (12m² + 24 m)/(m+2) =12m(m+2)/(m+2)= 12m

So the quotient is 12m

Check: 12m × (m+2)= 12m²+24m

我们也可以应用长除法来计算商和余数。股息条款被除数的第一项重复除法。

示例2：将m ⁴ -m ³ + m ² +5除以m + 1

解决方案：

This dividend can be rewritten as  

m³(m+1)-2m²(m+1)+3m(m+1)-3(m+1)+8

= m+1(m³-2m²+3m-3)+8

Division by m+1 gives

Quotient =(m³-2m²+3m-3)

Remainder=8

示例3：将m ⁴ – n ⁴除以m ² – n ²

解决方案：

By using the identity a² -b² = (a-b) (a + b)

We can write m⁴ – n⁴ as (m² – n²)(m² + n²)

So, cancelling the common terms in dividend and divisor, we get the quotient as m²+n²

错误

通常，错误是由于计算出的数字与其真实值的不准确性而导致的计算值中的错误或差异。

要记住避免错误的要点：

• 通常不写系数1。在添加类似术语时，请不要忘记将其总和包括在内。

例如4x和x + 4之和为(4x + x + 4)，即5x + 4而不是4x + 4。

• 在替换负值时，请使用方括号。

例如5与(2x + 3)的乘积，即5(2x + 3)等于10x + 15，而不仅仅是10x + 9。

• 当用括号括起来的表达式乘以括号外的常量时，请小心打开括号。确保每个表达式项都必须乘以常数。

例如，如果给定x = -2，则5x-2可以写为5(-2)-2，它等于-12。

• 对单项式求平方时，接触系数和变量均平方。

例如2x的平方，即(2x) ²等于4x ² 。

• 对二项式求平方时，请始终使用正确的公式。

例如(2x + 3)的平方，即(2x + 3) ²等于4x ² + 9 + 12x。

• 当多项式除以一个多项式时，则该多项式的分子的每个项都除以分母中存在的一个多项式。

$\text{e.g. }\dfrac{2x+6}{3}\text{ can be written as, }\dfrac{2x}{3}+\dfrac{6}{3}\text{ and is equal to }\dfrac{2x}{3}+2.$

结论：

本文清楚地讲授了进行分解的各种方法。此外，它还通过适当的示例讨论了代数表达的划分。

• 当一个单项式除以其他单项式时，两个单项式的商的系数等于它们的系数的商。
• 当一个单项式除以其他单项式时，两个单项式的商的变量等于单项式的变量的商。
• 我们可以通过股息=余数+除数*商来检查结果