8类RD Sharma解 – 第8章代数表达式的除法 – 练习8.4 | 套装2

该练习涉及到代数表达式的除法，要求学生能够使用长除法对代数表达式进行除法运算，并能够简化表达式。

题目描述

在这套题目中，一共有20道题目，每一道题目都是关于代数表达式的除法运算及简化。

题目难度从简单到难依次增加，涉及到多项式的除法运算和平方差公式的应用等知识点。

解题思路

对于每一道题目，首先需要将除式和被除式进行对齐，然后进行长除法运算。在计算过程中，要注意数字的运算方法，并注意每一步计算结果的符号。

除法运算结束后，需要对结果进行简化。这包括合并同类项、约分等步骤。

代码示例

以下是部分题目的解题思路和步骤：

题目1

$$ \dfrac{3x^3 - 5x^2 - 2x}{x - 1} $$

1. 将除式和被除式进行对齐。

   $$\begin{matrix} x - 1 & | & 3x^3 & -5x^2 & -2x \ & & 3x^3 & -3x^2 \ & & & -2x^2 & -2x \ & & & -2x^2 & +2x \ & & & & -4x \ \end{matrix}$$

2. 进行约分和简化。

   黄色部分的 $-2x^2$ 可以合并。

   $$ \dfrac{3x^3 - 5x^2 - 2x}{x - 1} = 3x^2 - 2x - 4 + \dfrac{-4}{x - 1} $$

题目8

$$ \dfrac{6x^2 - 7x - 3}{3x + 1} $$

1. 将除式和被除式进行对齐。

   $$\begin{matrix} 3x + 1 & | & 6x^2 & -7x & -3 \ & & 6x^2 & +2x \ & & & -9x & -3 \ & & & -9x & -3 \ & & & & 0 \ \end{matrix}$$

2. 进行约分和简化。

   $$ \dfrac{6x^2 - 7x - 3}{3x + 1} = 2x - 3 + \dfrac{0}{3x + 1} $$

需要注意的是，这道题目的余数为 0，在简化的过程中无需写出余数部分。

题目15

$$ \dfrac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} $$

1. 将除式和被除式进行对齐。

   无需对齐。

2. 进行因式分解。

   $$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $$

3. 进行约分和简化。

   $$ \dfrac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = a - b $$

需要注意的是，这道题目并不涉及到长除法的运算，而需要进行因式分解。

完整代码示例请参见 RD-Sharma-8-Chapter-8.4-Exercise-Set-2.md。