📜  平行线和横向线

📅  最后修改于: 2021-06-25 09:22:08             🧑  作者: Mango

您可能已经看过一组火车线,楼梯或一组钢琴键。这些有什么共同点吗?两条轨道永不交叉,梯子的两侧永不相交。钢琴琴键始终平行。让我们仔细看一下平行线和横向线,以及它们对应的角度。

平行线和横向

考虑一条线l,该线l在点P和Q处分别与线m和n相交。因此,线l是线m和n的横向线,其中获得了八个不同的角度。八个角度一起形成四对相应的角度。如下图所示,∠2和∠6构成一对相应的角度。相对于直线和横向线具有相同位置的所有角度都是一对相应的角度

此外,将线之间的区域中的角度(例如,∠4和∠5)称为内角,而将位于两条线外侧的角度(例如,∠1和and8)称为外角。位于横向相对侧的角度称为交替角度,例如∠4和∠6。共享相同顶点并具有共同光线的角度(例如,图中的∠1和∠2或∠6和∠5)称为相邻角。在这种情况下,获得了由两条直线相交的相邻角,两条直线相交是互补的。彼此相对的两个角度分别为∠1和∠3,称为垂直角

平行线和横向线所成的角度

对应角度公理

让我们找出当线m平行于线n时,这些对中的角度之间的关系。

对对应的角度。

因此,相应的角度公理表示为:

证明:相应的角度相等。

证明:线m和n彼此平行,线l遍历。

由于线m和n是平行的。

所以,

∠3 +∠6 = 180°(平行四边形的相邻角)……(1)

∠7 +∠6 = 180°(附加角)……(2)

∠3 +∠2 = 180°(附加角)……(3)

因此,从等式(1)和(2)可以得出结论:

∠3 =∠7

同样,从(1)和(3)可以得出结论:

∠6 =∠2

这样,也可以证明:

∠1 =∠5

∠4 =∠8

这意味着,所有四对对应的角度都彼此相等。

对应角公理的逆

对应的角度公理的相反表示为:

对对应的角度。

证明:如果相应的角度相等,则线是平行的。

证明:线l遍历线m和n。

所以,

∠3 =∠7(给定,相应的角度相等)……(1)

∠7 +∠6 = 180°(附加角)……(2)

因此,从等式(1)和(2)可以得出结论:

∠3 +∠6 = 180°

因此,相邻角度之和是补充。

因此,线是平行的。

交替角度公理

备用角度公理表示为:

一对交替的角度。

证明:交替的内角相等。

证明:线m和n彼此平行,线l是遍历的。

∠3 =∠7(对应的公理角)……(1)

∠7 =∠5(垂直相反的角度)……(2)

因此,从等式(1)和(2)可以得出结论:

∠3 =∠5

同样,它可以写为:

∠4 =∠6

因此,交替的内角是相等的。

交替角度公理的逆

备用角度公理的反函数表示为:

一对交替的角度。

证明:如果交替的内角相等,则两条线平行。

证明:线m和n彼此平行,线l遍历。

所以,

∠3 =∠5(交替的内角)…….(1)

∠7 =∠5(垂直相反的角度)……。(2)

因此,从等式(1)和(2)可以得出结论:

∠3 =∠7

根据对应角度公理的反面:如果一个横向线与两条线相交,使得一对对应的角度相等,则两条线彼此平行。

因此,两条线是平行的。

横向同一侧的内角特性

内角的属性表示为:

对内角

证明:如果一个横向线与两条平行线相交,则该横向线同一侧的每对内角都是互补的。

证明:线m和n彼此平行,线l遍历。

所以,

∠3 =∠7(对应的公理角)……(1)

∠6 +∠7 = 180°(附加角)……(2)

因此,从等式(1)和(2)可以得出结论:

∠6 +∠3 = 180°

因此,横向同一侧的每对内角都是互补的。

横截面同一侧的内角特性的逆

内角特性的反面表示为:

对内角。

证明:如果一个横向线与两条线相交,使得该横向线同一侧上的一对内角是互补的,则两条线是平行的。

证明:横向同一侧的一对内角是补充的。

∠6 +∠3 = 180°(给定,一对内角的和为补充)……(1)

∠6 +∠7 = 180°(附加角)……(2)

因此,从等式(1)和(2)可以得出结论:

∠7 =∠3

因此,两条线是平行的。

平行于同一条线的线

平行于同一条线的线定理表示为:

与同一条线平行的线。

证明: 平行于同一条线的线彼此平行(p || q || r)。

证明:线p和r平行,线p和q彼此平行,线l遍历。

现在,p || q和p || [R

由于m ||因此,

∠1 =∠2(对应的公理角)……(1)

∠1 =∠3(对应的公理角)……(2)

因此,从等式(1)和(2)可以得出结论:

∠2 =∠3

然而,根据对应角度公理的相反,如果一个横向线与两条线相交,使得一对对应的角度相等,则两条线彼此平行。

因此,两条线q和r平行,因此平行于r。

样本问题

问题1:在图中,如果PQ || RS,∠MXQ = 135°,∠MYR = 40°,找到∠XMY。

解决方案:

问题2:如果一个横向线与两条线相交,使得一对相应角度的等分线平行,则证明两条线是平行的。

解决方案:

问题3:在图中,AB || CD和CD ||英孚也是EA⊥AB。如果∠BEF = 55°,则找到x,y和z的值。

解决方案:

问题4:在图中,找到x和y的值,然后证明AB ||光盘。

解决方案:

问题5:在图中,如果AB || CD,∠APQ = 50°,∠PRD = 127°,求x和y。

解决方案: