代数结构中的有限群

在代数学中，群是一种代数结构，其中具有一种操作，称为群操作，它将群中的两个元素关联起来，产生另一个元素。一个有限群是一个群，其中元素数量是有限的。在计算机科学中，有限群有着广泛的应用，例如在密码学、图形学和计算机科学中的算法设计中。

基本概念

• 群操作

对于一个集合G中的任意两个元素a和b，定义了一种操作，称为群操作，可以表示为a b 或 ab。群操作需要满足以下条件：

• 封闭性：对于任意a、b∈G，a b∈G。
• 结合律：对于任意a、b和c∈G，(a b) c = a (b c)。
• 存在单位元素：存在一个元素e，使任意元素a与e进行群操作后还是本身。
• 存在逆元素：对于任意元素a∈G，存在一个元素a^-1，经过群操作后等于单位元素。

如果一个群还满足交换律，即对于任意a、b∈G，a b = b a，称为Abelian群或交换群。

• 有限群

如果一个群G的元素数量是有限的，那么称它为有限群。有限群的元素个数记作|G|。

• 子群

如果一个群G的子集H，是集合G的一个子群，那么H必须满足以下条件：

• 封闭性：对于任意a、b∈H，a b∈H。

• 单位元素：H中必须包含G中的单位元素。

• 逆元素：对于任意元素a∈H，a^-1∈H。

• 循环群

如果一个群G中的元素a，通过有限次群操作后又回到a本身，那么称此群为循环群。其中元素a称为这个循环群的生成元素。

有限群的分类

根据群中元素的性质，有限群可以分为以下三类：

1. 原始群：对于任意的正整数k，一个原始群中的置换群G，不存在一个阶为k的G的子群。
2. 传递群：如果对于群中任意两个元素a、b，都可以通过群操作从a到达b，那么称此群为传递群。（比如交错群就是一个传递群）
3. 广义可解群：对于每个正整数n，这个群的任意子群H，都可以被其他子群K包含，并且G/K是可循环群。（比如对于每个离散因子d，都存在一个有限非交叉径向对称群，记作Dd）

有限群的表示

有限群的表示是一种将群操作映射到矩阵空间中的方法，其中每个群元素都对应一个矩阵。一个群的表示通常会被表示为一个矩阵的数组。

对于一个有限群G，它的一个表示由以下四部分组成：

1. 维数：矩阵的大小。
2. 域：运算矩阵的域。（在计算机科学中一般是GF(2)）
3. 表示空间：矩阵的空间。
4. 关联矩阵：元素映射到矩阵的映射。

有限群在计算机科学中的应用

• 密码学

群论在密码学中有许多应用，例如群密码、离散对数问题和椭圆曲线加密。一个可以使用群论加密的密钥交换协议是迪菲 - 霍尔曼密钥交换协议。（DH密钥交换协议）。

• 计算机科学

在计算机科学中，有限群有很重要的地位，例如在图形学中，可以使用对称或群操作来操作对象。在计算机科学中还有很多其他的应用，例如计算机网络协议和调度算法设计等。

附代码片段：

class Group:
    def __init__(self, elements, operator):
        self.elements = set(elements)
        self.op = operator

    def is_group(self):
        # Check closure
        for a in self.elements:
            for b in self.elements:
                if not self.op(a, b) in self.elements:
                    return False

        # Check associativity
        for a in self.elements:
            for b in self.elements:
                for c in self.elements:
                    if self.op(a, self.op(b, c)) != self.op(self.op(a, b), c):
                        return False

        # Check identity
        for a in self.elements:
            identity_exists = False
            for b in self.elements:
                if self.op(a, b) == b and self.op(b, a) == b:
                    identity_exists = True
                    break
            if not identity_exists:
                return False

        # Check inverse
        for a in self.elements:
            inverse_exists = False
            for b in self.elements:
                if self.op(a, b) in self.elements and self.op(b, a) in self.elements and self.op(a, b) == self.op(b, a):
                    inverse_exists = True
                    break
            if not inverse_exists:
                return False

        return True

此处为一个使用Python实现的Group类，其中elements是一个群中的元素集合，op是群操作。其中is_group()函数用于检查该Group实例是否为群。