问题陈述

旅行者需要从一个列表中访问所有城市，在该列表中，所有城市之间的距离是已知的，每个城市应仅被访问一次。他一次访问每个城市并返回原城市的最短路线是什么?

解

旅行商问题是最臭名昭著的计算问题。我们可以使用蛮力方法来评估每个可能的游览，然后选择最佳游览。对于图中n个顶点，有( n -1)个！数量的可能性。

尽管没有多项式时间算法，但可以使用更少的时间来获得解决方案，而不是使用动态编程方法进行暴力破解。

让我们考虑图G =(V，E) ，其中V是一组城市， E是一组加权边。边e(u，v)表示顶点u和v连接。顶点u与v之间的距离为d(u，v) ，该距离应为非负数。

假设我们从1号城市开始，访问了一些城市之后，现在在j号城市。因此，这是部分游览。我们当然需要知道j ，因为这将确定接下来前往哪些城市最方便。我们还需要知道到目前为止访问过的所有城市，以便我们不再重复其中的任何一个。因此，这是一个适当的子问题。

对于包含1和jЄS的城市SЄ{1,2,3，…，n}的子集，令C(S，j)是访问S中每个节点一次的最短路径的长度，从1开始，到j结束。

什么时候S | > 1，我们定义C(S，1) = ∝，因为路径无法在1开始和结束。

现在，让我们用较小的子问题来表达C(S，j) 。我们需要从1开始，到j结束。我们应该这样选择下一个城市

$$ C(S，j)=最小值\：C(S-\ lbrace j \ rbrace，i)+ d(i，j)\：where \：i \ in S \：and \：i \ neq jc( S，j)= minC(s- \ lbrace j \ rbrace，i)+ d(i，j)\：where \：i \ in S \：and \：i \ neq j $$

Algorithm: Traveling-Salesman-Problem 
C ({1}, 1) = 0 
for s = 2 to n do 
   for all subsets S Є {1, 2, 3, … , n} of size s and containing 1 
      C (S, 1) = ∞ 
   for all j Є S and j ≠ 1 
      C (S, j) = min {C (S – {j}, i) + d(i, j) for i Є S and i ≠ j} 
Return minj C ({1, 2, 3, …, n}, j) + d(j, i) 

分析

最多有$ 2 ^ nn $个子问题，每个子问题都需要线性时间才能解决。因此，总运行时间为$ O(2 ^ nn ^ 2)$。

例

在下面的示例中，我们将说明解决旅行商问题的步骤。

根据上图，准备下表。

S =Φ

$$ \ small Cost(2，\ Phi，1)= d(2,1)= 5 \ small Cost(2，\ Phi，1)= d(2,1)= 5 $$

$$ \ small Cost(3，\ Phi，1)= d(3,1)= 6 \ small Cost(3，\ Phi，1)= d(3,1)= 6 $$

$$ \ small Cost(4，\ Phi，1)= d(4,1)= 8 \ small Cost(4，\ Phi，1)= d(4,1)= 8 $$

S = 1

$$ \ small成本(i，s)=最小\ lbrace成本(j，s –(j))+ d [i，j] \ rbrace \ small Cost(i，s)= min \ lbrace成本(j，s )-(j))+ d [i，j] \ rbrace $$

$$ \ small Cost(2，\ lbrace 3 \ rbrace，1)= d [2,3] + Cost(3，\ Phi，1)= 9 + 6 = 15cost(2，\ lbrace3 \ rbrace，1)= d [2,3] + cost(3，\ Phi，1)= 9 + 6 = 15 $$

$$ \ small Cost(2，\ lbrace 4 \ rbrace，1)= d [2,4] + Cost(4，\ Phi，1)= 10 + 8 = 18cost(2，\ lbrace4 \ rbrace，1)= d [2,4] + cost(4，\ Phi，1)= 10 + 8 = 18 $$

$$ \ small Cost(3，\ lbrace 2 \ rbrace，1)= d [3,2] + Cost(2，\ Phi，1)= 13 + 5 = 18cost(3，\ lbrace2 \ rbrace，1)= d [3,2] + cost(2，\ Phi，1)= 13 + 5 = 18 $$

$$ \ small Cost(3，\ lbrace 4 \ rbrace，1)= d [3,4] + Cost(4，\ Phi，1)= 12 + 8 = 20cost(3，\ lbrace4 \ rbrace，1)= d [3,4] + cost(4，\ Phi，1)= 12 + 8 = 20 $$

$$ \ small Cost(4，\ lbrace 3 \ rbrace，1)= d [4,3] + Cost(3，\ Phi，1)= 9 + 6 = 15cost(4，\ lbrace3 \ rbrace，1)= d [4,3] + cost(3，\ Phi，1)= 9 + 6 = 15 $$

$$ \ small Cost(4，\ lbrace 2 \ rbrace，1)= d [4,2] + Cost(2，\ Phi，1)= 8 + 5 = 13cost(4，\ lbrace2 \ rbrace，1)= d [4,2] + cost(2，\ Phi，1)= 8 + 5 = 13 $$

S = 2

$$ \ small Cost(2，\ lbrace 3，4 \ rbrace，1)= \开始{cases} d [2，3] + Cost(3，\ lbrace 4 \ rbrace，1)= 9 + 20 = 29 \ \ d [2，4] + Cost(4，\ lbrace 3 \ rbrace，1)= 10 + 15 = 25 = 25 \ small Cost(2，\ lbrace 3,4 \ rbrace，1)\\\ lbrace d [ 2,3] + \ small cost(3，\ lbrace4 \ rbrace，1)= 9 + 20 = 29d [2,4] + \ small Cost(4，\ lbrace 3 \ rbrace，1)= 10 + 15 = 25 \ end {cases} = 25 $$

$$ \ small Cost(3，\ lbrace 2，4 \ rbrace，1)= \ begin {cases} d [3，2] + Cost(2，\ lbrace 4 \ rbrace，1)= 13 + 18 = 31 \ \ d [3，4] + Cost(4，\ lbrace 2 \ rbrace，1)= 12 + 13 = 25 = 25 \ small Cost(3，\ lbrace 2,4 \ rbrace，1)\\\ lbrace d [ 3,2] + \ small cost(2，\ lbrace4 \ rbrace，1)= 13 + 18 = 31d [3,4] + \ small Cost(4，\ lbrace 2 \ rbrace，1)= 12 + 13 = 25 \ end {cases} = 25 $$

$$ \ small Cost(4，\ lbrace 2，3 \ rbrace，1)= \ begin {cases} d [4，2] + Cost(2，\ lbrace 3 \ rbrace，1)= 8 + 15 = 23 \ \ d [4，3] + Cost(3，\ lbrace 2 \ rbrace，1)= 9 + 18 = 27 = 23 \ small Cost(4，\ lbrace 2,3 \ rbrace，1)\\\ lbrace d [ 4,2] + \ small cost(2，\ lbrace3 \ rbrace，1)= 8 + 15 = 23d [4,3] + \ small Cost(3，\ lbrace 2 \ rbrace，1)= 9 + 18 = 27 \ end {cases} = 23 $$

S = 3

$$ \ small Cost(1，\ lbrace 2，3，4 \ rbrace，1)= \开始{cases} d [1，2] + Cost(2，\ lbrace 3，4 \ rbrace，1)= 10 + 25 = 35 \\ d [1，3] + Cost(3，\ lbrace 2，4 \ rbrace，1)= 15 + 25 = 40 \\ d [1，4] + Cost(4，\ lbrace 2，3 \ rbrace，1)= 20 + 23 = 43 = 35 cost(1，\ lbrace 2,3,4 \ rbrace)，1)\\ d [1,2] + cost(2，\ lbrace 3,4 \ rbrace ，1)= 10 + 25 = 35 \\ d [1,3] + cost(3，\ lbrace 2,4 \ rbrace，1)= 15 + 25 = 40 \\ d [1,4] + cost(4 ，\ lbrace 2,3 \ rbrace，1)= 20 + 23 = 43 = 35 \ end {cases} $$

最低费用路径为35。

从成本{1，{2，3，4}，1}开始，我们得到d [1，2]的最小值。当s = 3时，从1到2选择路径(成本为10)，然后向后移动。当s = 2时，我们得到d [4，2]的最小值。从2到4选择路径(成本为10)，然后向后移动。

当s = 1时，我们得到d [4，3]的最小值。选择4到3的路径(成本为9)，然后我们将转到s =Φ步骤。我们得到d [3，1]的最小值(成本为6)。