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📜  证明：为什么 A 的补码概率等于 1 减去 A 的概率 [ P(A') = 1-P(A) ]

📅  最后修改于: 2021-09-22 10:55:03             🧑  作者: Mango

概率是指事件发生的程度。当一个事件发生时，比如扔球、从牌组中捡一张牌等，那么一定有一些与该事件相关的概率。

基本术语：

  • 随机事件-
    如果一个实验在相似条件下重复发生多次，如果它每次都不会产生相同的结果，但一次试验的结果是几种可能结果之一，那么这样的实验称为随机事件或概率事件。
  • 样本空间–
    样本空间是指随机事件的所有可能结果的集合。例如，当掷硬币时，可能的结果是正面和反面。
  • 事件——
    事件是指与随机事件相关的样本空间的子集。
  • 事件的发生–
    如果属于随机事件的任何一个基本事件是结果，则称与随机事件相关联的事件发生了。
  • 补充——
    在集合中，集合的补集，A 是 A 中不存在的所有元素的集合。它用 A’ 或 A c 表示。例如，在掷骰子的实验中，如果 A 是所有偶数结果的集合，则 A’ 是所有奇数结果的集合。
  • 互斥活动–
    与随机事件相关的两个或多个事件称为互斥事件。如果发生任何一个事件，它会阻止所有其他事件的发生。这意味着不能同时发生两个或多个事件。
If A and B are mutually exclusive events, then
A ∩ B = ∅
Also, P(A ∩ B) = 0

概率公理：

问题陈述：
为什么 A 的补码的概率等于 1 减去 A 的概率?

解决方案：
让我们开始对上述问题陈述的证明。下面是证明步骤——

1. 考虑一个事件 A。由于实验的样本空间包含实验的所有可能结果，而 A 和 A’ 的并集包含实验的所有可能结果。所以，样本空间可以写成- 

S = A ∪ A'
Also, P(S) = P(A ∪ A') --- (1)

2. 由于A和A’的交集等于∅，所以可以说A和A’是互斥事件。因此，根据公理 3， 

Since, A ∩ A' = ∅
P(A ∪ A') = P(A) + P(A') --- (2)

3. 现在，从等式(1)和(2)，可以写成—— 

P(S) = P(A) + P(A')

4.由公理2可知，一个样本空间的概率总是等于1，即

P(S) = 1
P(A) + P(A') = 1 --- (3)

5. 重新排列等式(3)后，得到以下等式—— 

P(A') = 1 - P(A)

即 A 的补码的概率等于 1 减去 A 的概率。因此，证明。

例子：
让我们来看看与上述证明相关的一些已解决的例子——

1. 一次掷骰子。

2.掷两枚硬币。